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Probabilités

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Probabilités

MessagePosté: Dimanche 21 Mars 2010, 13:20
de paspythagore
Bonjour,

j'ai du mal à terminer cet exercice sur les probabilités.

On a $2m$ chaussettes marrons et $2n$ chaussettes noires. Quel est la probabilité d'avoir $k$ paires dépareillées avec $k$ pair et $k < \min(m, n)$


Il y a $ \dbinom{2m}{2m + 2n} = \dbinom{2n}{2m + 2n}$ cas possibles.

Après ça se complique, la première chaussette tirée a une probabilité de $1$ d'être la bonne mais la deuxième, elle a une probabilité de $\dfrac{2m}{2m + 2n -1}$ d'être la bonne si la première est noire et une probabilité de $\dfrac{2n}{2m + 2n -1}$ si la première est marron et ce modèle doit être reproduit $k$ fois.

J'ai du mal, pourriez vous m'aider.

Re: Probabilités

MessagePosté: Dimanche 21 Mars 2010, 14:53
de fp
$k$ doit nécessairement être un entier pair ?

FP.

Re: Probabilités

MessagePosté: Dimanche 21 Mars 2010, 15:10
de paspythagore
Oui sinon la probabilité est nulle.

Re: Probabilités

MessagePosté: Dimanche 21 Mars 2010, 15:22
de fp
paspythagore a écrit:Oui sinon la probabilité est nulle.


Ah bon ? La probabilité d'avoir $1$ paire dépareillée est nulle ?

FP.

Re: Probabilités

MessagePosté: Dimanche 21 Mars 2010, 16:24
de paspythagore
Ben oui, j'ai du mal à le démontrer, mais si on a une seule paire dépareillée, on va se retrouver avec un nombre impairs de chacune des $2$ sortes chaussettes : donc on va reconstituer une deuxième paire dépareillée.

Re: Probabilités

MessagePosté: Dimanche 21 Mars 2010, 16:46
de fp
paspythagore a écrit:Ben oui, j'ai du mal à le démontrer, mais si on a une seule paire dépareillée, on va se retrouver avec un nombre impairs de chacune des $2$ sortes chaussettes : donc on va reconstituer une deuxième paire dépareillée.


Bon, alors j'ai mal compris l'exercice.

Questions :

  • Les $2m$ chaussettes noires sont-elles indiscernables entre elles ?
  • Les $2n$ chaussettes marron sont-elles indiscenables entre elles ?
  • Quelle est l'expérience réalisée ? On tire $2k$ chaussettes ? Autre chose ?

FP

Re: Probabilités

MessagePosté: Dimanche 21 Mars 2010, 16:57
de paspythagore
Bonjour,

Questions :

* Les $2m$ chaussettes noires sont-elles indiscernables entre elles ?

OUI elles sont indiscernables.

* Les $2n$ chaussettes marron sont-elles indiscernables entre elles ?

OUI elles sont indiscernables.

* Quelle est l'expérience réalisée ? On tire $2k$ chaussettes ? Autre chose ?

On tire les chaussettes une par une et on les groupe par paires, jusqu'à ce qu'il n' y en ait plus. On cherche la probabilté pour chaque entier $k$ d'avoir exactement $k$ paires dépareillées.

J'espère que c'est plus clair.

Re: Probabilités

MessagePosté: Dimanche 21 Mars 2010, 17:20
de fp
Oui, c'est beaucoup plus clair. :)
Une dernière chose me chiffonne : vous êtes sûr de $k<\min(m,m)$ ? Par exemple, si $m=n=1$, on a donc 2 chaussettes noires et 2 chaussettes marron. On peut parfaitement obtenir 2 paires dépareillées, donc $k=2>1=\min(m,n)$ :?:

FP.

Re: Probabilités

MessagePosté: Dimanche 21 Mars 2010, 17:23
de paspythagore
Non, pardon, j'ai oublié le $2$ : $k \leq 2 \min(m,n)$

Re: Probabilités

MessagePosté: Dimanche 21 Mars 2010, 19:43
de fp
OK.

Pourquoi dites-vous qu'il y a $\dbinom{2m+2n}{2m}$ cas possibles ?

FP.

Re: Probabilités

MessagePosté: Dimanche 21 Mars 2010, 19:58
de paspythagore
C'est une des choses que je n'ai pas compris : je voulais choisir $2m$ chaussettes parmi les $2m + 2n$. Comme elles ne sont différentiables que par leurs 2 couleurs, il y aurait plutôt, $2^{min(m,n)}$ choiX possibles ?

Re: Probabilités

MessagePosté: Dimanche 21 Mars 2010, 20:04
de Tonn83
:mrgreen: Déjà il faut comprendre l'énoncé d'un problème avant d'essayer de le résoudre :!: On tire $2k$ chausettes parmi $2m+2n$ chausettes et $k$ peut être impair. La question est de savoir si on dispose de $k$ paire de chausettes ou non.
Une indication : on a tiré $q<2k$ chausettes marron. Combien de chausettes noires a-t-on tiré :?: Quelle condition faut_il imposer sur $q$ pour pouvoir regrouper les $2k$ chausettes par paire :?: Comment conclure :?:

Re: Probabilités

MessagePosté: Dimanche 21 Mars 2010, 20:24
de fp
Tonn83 a écrit::mrgreen: Déjà il faut comprendre l'énoncé d'un problème avant d'essayer de le résoudre :!: On tire $2k$ chausettes parmi $2m+2n$ chausettes et $k$ peut être impair. La question est de savoir si on dispose de $k$ paire de chausettes ou non.
Une indication : on a tiré $q<2k$ chausettes marron. Combien de chausettes noires a-t-on tiré :?: Quelle condition faut_il imposer sur $q$ pour pouvoir regrouper les $2k$ chausettes par paire :?: Comment conclure :?:


Heu, relire le message de paspythagore de 15 h 57 qui précise l'énoncé. $k$ est pair. ET, si j'ai bien compris, on ne regroupe pas les $2k$ chaussettes par paire, mais on tire deux chaussettes : 1re paire ; on tire 2 autres chaussettes : 2e paire, etc.

FP.

Re: Probabilités

MessagePosté: Lundi 22 Mars 2010, 02:52
de Tonn83
Paspythagore écrit :
paspythagore a écrit:On tire les chaussettes une par une et on les groupe par paires, jusqu'à ce qu'il n' y en ait plus. On cherche la probabilté pour chaque entier $k$ d'avoir exactement $k$ paires dépareillées.

Donc, déjà $k$ désigne bien le nombre de paires de chausettes, sommes-nous d'accord ? Sinon, je crains de ne pas trop comprendre. Veux-du dire la chose suivante?
On dispose d'une séquence $(x_i)_{1\leq i\leq 2m+2n}$ d'entiers modulo 2, avec 2m égaux à 0 et 2n égaux à 1. La question est de savoir combien il y a de telles suites $x$ avec exactement $q$ paires $(2j,2j+1)$ telles que $x(2j)$ et $x(2j+1)$ ont des parités opposées. Soit $N_q$ ce nombre. La probabilité recherché est $N_q/4^{n+m}$.

Donc effectivement, $q$ doit être pair, et inférieur à $2m$ et $2n$. On pose $q=2r$. Heu ... :? Bon, d'accord, jusqu'à pésent, tout cela ne t'aide pas beaucoup. :lol: Il faut que tu calcules $N_q$. Avant même de me lancer dans les calculs, j'affirme que ce nombre est divisible par $2^{m+n}$. Vois-tu pourquoi ?

@ fp : Le plus difficile était de comprendre l'énoncé. En général, je range mes chaussettes par paire en les enroulant l'une dans l'autre. Le problème est quand même un peu tordu je trouve.

Re: Probabilités

MessagePosté: Lundi 22 Mars 2010, 08:22
de fp
Tonn83 a écrit:Paspythagore écrit :
paspythagore a écrit:On tire les chaussettes une par une et on les groupe par paires, jusqu'à ce qu'il n' y en ait plus. On cherche la probabilté pour chaque entier $k$ d'avoir exactement $k$ paires dépareillées.

Donc, déjà $k$ désigne bien le nombre de paires de chausettes, sommes-nous d'accord ? Sinon, je crains de ne pas trop comprendre. Veux-du dire la chose suivante?
On dispose d'une séquence $(x_i)_{1\leq i\leq 2m+2n}$ d'entiers modulo 2, avec 2m égaux à 0 et 2n égaux à 1. La question est de savoir combien il y a de telles suites $x$ avec exactement $q$ paires $(2j,2j+1)$ telles que $x(2j)$ et $x(2j+1)$ ont des parités opposées. Soit $N_q$ ce nombre. La probabilité recherché est $N_q/4^{n+m}$.


Juste un point de détail : les $q$ paires sont de la forme $(2j-1,2j)$ puisque l'indice de départ de la séquence $(x_i)$ est 1 (donc impair). Ça ne change rien fondamentalement.

Donc effectivement, $q$ doit être pair, et inférieur à $2m$ et $2n$. On pose $q=2r$. Heu ... :? Bon, d'accord, jusqu'à pésent, tout cela ne t'aide pas beaucoup. :lol: Il faut que tu calcules $N_q$. Avant même de me lancer dans les calculs, j'affirme que ce nombre est divisible par $2^{m+n}$. Vois-tu pourquoi ?

@ fp : Le plus difficile était de comprendre l'énoncé. En général, je range mes chaussettes par paire en les enroulant l'une dans l'autre. Le problème est quand même un peu tordu je trouve.

Je suis d'accord. C'est bien la raison pour laquelle j'ai demandé de préciser l'énoncé.
En tout cas, votre réécriture de l'énoncé clarifie (à mon avis) les choses.

FP.

Re: Probabilités

MessagePosté: Lundi 22 Mars 2010, 22:33
de paspythagore
Merci de votre aide,

mais je suis encore loin du compte.

Ce que je n'arrive pas à comprendre, mais si ça n'a rien avoir avec la reformulation et les questions de Tonn83. c'est que par tirage (regroupement de $2$ chaussettes) il y a $3$ choix possibles : $2$ chaussettes marrons, $2$ chaussettes noires ou une paire dépareillée jusqu'à épuisement d'une des couleurs et à partir de là, il m'est impossible de conclure. Je retourne à la solution de Tonn83.

Bonne soirée.

Re: Probabilités

MessagePosté: Mardi 23 Mars 2010, 14:43
de paspythagore
Bonjour,

avec votre aide je vais tenter quelque chose. Soyez indulgent :

$\ds\prod_{(m, n)=(0, 0)}^{(r, r)} \dfrac{2m}{2m + 2n}\dfrac{2n}{2m + 2n}$ possibilités.

Re: Probabilités

MessagePosté: Mardi 23 Mars 2010, 15:49
de fp
paspythagore a écrit:Bonjour,

avec votre aide je vais tenter quelque chose. Soyez indulgent :

$\ds\prod_{(m, n)=(0, 0)}^{(r, r)} \dfrac{2m}{2m + 2n}\dfrac{2n}{2m + 2n}$ possibilités.


$m$ et $n$ sont fixés, ils ne peuvent pas varier de $0$ à $r$...

FP.

Re: Probabilités

MessagePosté: Mercredi 24 Mars 2010, 19:33
de paspythagore
$\ds\prod_{(i, j)=(0, 0)}^{(r, r)} \dfrac{2i}{(2m - i + 1 + 2n - j + 1)}\dfrac{2j}{(2m - i + 1 + 2n - j + 1)}$ possibilités. ?

Re: Probabilités

MessagePosté: Jeudi 25 Mars 2010, 13:52
de paspythagore
Bon visiblement la suite ça n'est pas ça.

La question est de savoir combien il y a de telles suites avec exactement paires telles que et ont des parités opposées.


C'est vrai que je n'arrive pas à trouver cette suite.
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