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par **sotwafits** » Lundi 10 Juillet 2006, 23:21

C'est un système autonome : $x$

n'intervient pas. Le domaine de définition en $x$

est $\R$ , quel que soit $y$

dans $]0,+\infty[$
Le théorème de Cauchy-Lipschitz s'applique donc bien en $(x_0,y_0)=(0,e)$

Bonjour à tous,
Cela fait longtemps que ce sujet très intéressant n'a pas donné suite. Je me souviens avoir lu ce topic avec beaucoup d'intérêt il y a quelques années en restant un peu sur ma faim et ne sachant répondre à cette question : Quelle est l'intérêt du produit continu ?? On ne sait pas trop si ce sujet est bien connu des mathématiciens.. lorsqu'on recherche "produit continu" ou "intégrale multiplicative" sur google, on tombe sur des discussions dans des forums comme ici (et un article sur Wikipédia écrit en anglais mais qui donne peu d'infos : http://en.wikipedia.org/wiki/Product_integral). Le sujet semble susciter beaucoup d'intérêt car l'intégrale multiplicative regorge de propriétés intéressante !

Je reviens vers vous car je pense avoir trouvé une application concrète où l'intégrale multiplicative aurait son utilité !

Intéressons-nous à la loi de durée de vie $X$

d'un objet en supposant que la probabilité de fin de vie ne dépende pas de t. $p(X \ge t)$ représente la probabilité que l'objet soit encore en vie à l'instant $t$

. Il s'agit d'une loi de durée de vie sans vieillissement : $p(X \ge t) = e^{-\lambda t}$ où $\lambda$ est un réel positif. Sa valeur est déterminée en connaissant la valeur de $p(X \ge t)$ pour un $t$

particulier.

Soit $\alpha$ la probabilité que l'objet reste en vie ponctuellement à un instant donné. Puisque la loi est sans vieillissement et ne dépend pas de $t$

, $\alpha$ est constante.
L'objet est toujours en vie à l'instant $t$

si il a "survecu" jusqu'à $t$

. Si l'on divise l'interval $[0;t]$

en plusieurs intervalles en choissant un écart infinitésimal entre chaque valeur, la probabilité d'être encore en vie à l'instant $t$

est le produit continu des probabilités d'être en vie ponctuellement de $0$

à

. Autrement dit : $p(X \ge t) = \prod_0 ^t \alpha dx = e^{\int _0 ^t ln \alpha dx} = e^{[x ln \alpha]_0 ^t} = e^{t ln \alpha}$
On retombe bien sur la loi exponentielle de paramètre $-ln \alpha$ !

En poussant le raisonnement un peu plus loin, on peut modéliser une loi de durée de vie AVEC vieillissement. Si $f(t)$

donne la probabilité de rester en vie ponctuellement à un instant $t$

, alors $p(X \ge t) = \prod_0 ^t f(x) dx$ . La loi exponentielle que nous connaissons est en réalité un cas particulier de la loi de durée de vie avec vieillissement lorsque la fonction ponctuelle est constante.

par **projetmbc** » Samedi 14 Avril 2012, 17:30

Bonjour,
a priori c'est intéressant comme explication. Connais-tu des documents gratuits traitant rigoureusement des produits continues ?

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Produit continu ? (intégrale multiplicative)

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Re: Produit continu ? (intégrale multiplicative)

Re: Produit continu ? (intégrale multiplicative)

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