Petit problème

Discussions générales concernant les mathématiques.
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Petit problème

Messagepar rebouxo » Mardi 04 Mars 2014, 15:31

Je suis en train de ranger, et je suis tomber sur un la recherche spécial jeux math. Et dans celui-ci un problème :

Dans la galaxie Gigalaxy, Gilbert Gaga a obtenu un certain nombre de voix aux élections galactiques. En recopiant sur son blog le nombre de voix gigantesque qu'il a obtenues, il se trompe et écrit le chiffre le plus à gauche tout à droite, les quinze autres chiffres du nombre restant inchangés. Le nombre de voix qu'il affiche est alors exactement supérieur de 50 % au nombre réel.

Combien de voix Gilbert Gaga a-t-il réellement obtenues ?


Mon problème : Je trouve pour le premier nombre 1176470588235294 et 1764705882352941 pour le second. Et la correction du problème trouve 5882352941176470 et 8823529411764705.

Vous constatez une légère différence. Ce qui m'intrigue, c'est que entre mes réponses et celle de la recherche il y a exactement un facteur 5. On remarque aussi une permutation des nombres.

Mon raisonnement : Soit $A$ le nombre réel et $B$ le nombre affiché.
$A = a \times 10^{15} + N$, $a$ un chiffre entre $1$ et $9$ et $N$ le nombre de quinze chiffres.

$B = 10N + a$.

À partir de là, j'écris que $B = \dfrac{3}{2}A$, j'en déduis que

$$ N = \frac{3\cdot 10^{15}-2}{17}a, $$


et oui, $3\cdot 10^{15} - 2 $ est divisible par 17. (merci python).
Je fais donc une petite boucle sur mes $9$ possibilités.

Où, me plante-je ? En faite j'ai surtout l'impression qu'il y a, au moins deux solutions, la mienne et la leur. Mais je ne vois pas pourquoi ?

Si quelqu'un a une idée ?

Olivier
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Re: Petit problème

Messagepar cpo » Mercredi 05 Mars 2014, 00:00

Bonsoir,

Quid des couples :

3529411764705882 2352941176470588,
5294117647058823 3529411764705882 et
7058823529411764 4705882352941176 ?

Le couple 0 0 pourrait aussi être solution, mais il faudrait alors supposer que Gilbert est vraiment gaga…
cpo
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Re: Petit problème

Messagepar rebouxo » Mercredi 05 Mars 2014, 10:01

Bon, t'as fait comment ?
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Re: Petit problème

Messagepar cpo » Mercredi 05 Mars 2014, 11:38

rebouxo a écrit:t'as fait comment ?


Exactement comme tu le décris ci-dessus.
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Re: Petit problème

Messagepar guiguiche » Mercredi 05 Mars 2014, 13:24

Olivier, tes relations semblent donner un couple solution pour $a\in\{1,2,3,4,5\}$ (au delà, B est trop grand).
Pas d'aide par MP : les questions sont publiques, les réponses aussi.
Tu as apprécié l'aide qui t'a été fournie ? Alors n'hésite pas à rendre la pareille à quelqu'un d'autre.
Un peu d'autopromotion.
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Re: Petit problème

Messagepar rebouxo » Mercredi 05 Mars 2014, 13:34

Sauf que python ne me confirme pas les autres solutions.

Bon, je vais y réfléchir.

Olivier
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Re: Petit problème

Messagepar Francky » Mercredi 05 Mars 2014, 15:19

Code: Tout sélectionner
for i in range(10):
   n=15+i*16
   lim=10**n
   for x in range(1, 10):
      y=x*(3*10**n-2)//17
      if y<lim: print(x,y,sep="")
   print()


Il y a des solutions pour tous n de la forme 15+16*i (ça se prouve easy)
Elles sont toutes "pareilles"

Code: Tout sélectionner
1176470588235294
2352941176470588
3529411764705882
4705882352941176
5882352941176470

11764705882352941176470588235294
23529411764705882352941176470588
35294117647058823529411764705882
47058823529411764705882352941176
58823529411764705882352941176470

117647058823529411764705882352941176470588235294
235294117647058823529411764705882352941176470588
352941176470588235294117647058823529411764705882
470588235294117647058823529411764705882352941176
588235294117647058823529411764705882352941176470

1176470588235294117647058823529411764705882352941176470588235294
2352941176470588235294117647058823529411764705882352941176470588
3529411764705882352941176470588235294117647058823529411764705882
4705882352941176470588235294117647058823529411764705882352941176
5882352941176470588235294117647058823529411764705882352941176470

11764705882352941176470588235294117647058823529411764705882352941176470588235294
23529411764705882352941176470588235294117647058823529411764705882352941176470588
35294117647058823529411764705882352941176470588235294117647058823529411764705882
47058823529411764705882352941176470588235294117647058823529411764705882352941176
58823529411764705882352941176470588235294117647058823529411764705882352941176470

117647058823529411764705882352941176470588235294117647058823529411764705882352941176470588235294
235294117647058823529411764705882352941176470588235294117647058823529411764705882352941176470588
352941176470588235294117647058823529411764705882352941176470588235294117647058823529411764705882
470588235294117647058823529411764705882352941176470588235294117647058823529411764705882352941176
588235294117647058823529411764705882352941176470588235294117647058823529411764705882352941176470

1176470588235294117647058823529411764705882352941176470588235294117647058823529411764705882352941176470588235294
2352941176470588235294117647058823529411764705882352941176470588235294117647058823529411764705882352941176470588
3529411764705882352941176470588235294117647058823529411764705882352941176470588235294117647058823529411764705882
4705882352941176470588235294117647058823529411764705882352941176470588235294117647058823529411764705882352941176
5882352941176470588235294117647058823529411764705882352941176470588235294117647058823529411764705882352941176470

11764705882352941176470588235294117647058823529411764705882352941176470588235294117647058823529411764705882352941176470588235294
23529411764705882352941176470588235294117647058823529411764705882352941176470588235294117647058823529411764705882352941176470588
35294117647058823529411764705882352941176470588235294117647058823529411764705882352941176470588235294117647058823529411764705882
47058823529411764705882352941176470588235294117647058823529411764705882352941176470588235294117647058823529411764705882352941176
58823529411764705882352941176470588235294117647058823529411764705882352941176470588235294117647058823529411764705882352941176470

117647058823529411764705882352941176470588235294117647058823529411764705882352941176470588235294117647058823529411764705882352941176470588235294
235294117647058823529411764705882352941176470588235294117647058823529411764705882352941176470588235294117647058823529411764705882352941176470588
352941176470588235294117647058823529411764705882352941176470588235294117647058823529411764705882352941176470588235294117647058823529411764705882
470588235294117647058823529411764705882352941176470588235294117647058823529411764705882352941176470588235294117647058823529411764705882352941176
588235294117647058823529411764705882352941176470588235294117647058823529411764705882352941176470588235294117647058823529411764705882352941176470

1176470588235294117647058823529411764705882352941176470588235294117647058823529411764705882352941176470588235294117647058823529411764705882352941176470588235294
2352941176470588235294117647058823529411764705882352941176470588235294117647058823529411764705882352941176470588235294117647058823529411764705882352941176470588
3529411764705882352941176470588235294117647058823529411764705882352941176470588235294117647058823529411764705882352941176470588235294117647058823529411764705882
4705882352941176470588235294117647058823529411764705882352941176470588235294117647058823529411764705882352941176470588235294117647058823529411764705882352941176
5882352941176470588235294117647058823529411764705882352941176470588235294117647058823529411764705882352941176470588235294117647058823529411764705882352941176470
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Re: Petit problème

Messagepar rebouxo » Mercredi 05 Mars 2014, 19:38

Je comprends le code de Francky et je n'aurais jamais pensé à regarder pour des valeurs plus grandes pour l'exposant. Qu'est-ce qui t'as fait penser à cela ?

Mais j'ai compris où je fais l'erreur.

Reprenons : $A$ le nombre de voix, $B$ le nombre affiché, $a$ un chiffre.

$A = a \times 10^{15} + N $ et $ B = 10N + a $

J'ai écrit ceci, dans mon code : $N = (3\times 10^{15}-2)/17$. Je me suis aperçu que j'avais considérer que ce nombre était toujours le même. Ce qui est stupide, car ce nombre dépend du chiffre en cours.

Voilà, donc le programme fonctionne. Et je suis rassuré. C'est quand même dommage pour un exo d'un concours de ne pas avoir toutes les solutions.

Merci, à tous les 3.

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