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par **Tunaki** » Dimanche 12 Février 2012, 21:27

Bonjour,

Je suis en train de me poser une question à propos d'une marche aléatoire. Je poste en "Tribune libre" parce que je ne sais pas trop à quel niveau un tel exercice pourrait être posé.

Imaginons une marche aléatoire à 1D. Je place une particule à $x=L$

. Il y a équiprobabilité pour qu'elle se déplace de $a$

vers gauche ( $x=L-a$

) ou vers la droite ( $x=L+a$

). La particularité est qu'il y a "absorption" de la particule dès que $x=L$

ou

(en gros, si $x$

sort de l'intervalle $[0,L]$

, la particule ne bouge plus). Je me demandais quel était la distance moyenne parcourue par une particule absorbée en $x=0$

(le temps de premier passage en $x=0$

en quelque sorte).

Il est clair que ça sera plus grand que $L$

mais je n'arrive pas à trouver de combien. Mon but est en fait de trouver ce résultat dans le cas 3D continu (continu dans le sens où la probabilité de choisir l'angle solide $\Omega$ est $\dfrac{1}{4\pi}$ ) mais je me disais que ça serait un bon début déjà à 1D discret... Pour l'instant, je n'ai réussi à calculer que la probabilité $p$

qu'a la particule pour atteindre $x=0$

et j'ai trouvé $p=\dfrac{1}{1+\frac{3L}{2a}}$ dans le cas 3D continu.

Sauriez-vous comme faire ? Merci pour votre aide !

Déjà il serait pas mal de faire trois cas : a >= L, L > a >= $\frac{1}{2}$ L et $\frac{1}{2}$ L > a
Ensuite je crois que tu t'es emmêlé les pinceaux dans ce que tu as fait. Si j'ai bien compris, ce que tu es arrivé à faire est le cas 1D et tu cherches à trouver en 3D, non ?

Question sur le 3D : tu dois bosser en cartésien, en cylindrique ou en sphérique ?

par **guiguiche** » Lundi 13 Février 2012, 10:04

Soit

la variable aléatoire égale à l'abscisse de la particule à l'instant n. Considère le vecteur :

$U_n=\begin{pmatrix}\mathbb P(X_n=0) \\ \mathbb P(X_n=1) \\ \vdots \\ \mathbb P(X_n=L) \end{pmatrix}$

Avec la formule des probabilités totales, tu dois obtenir une matrice $M$

telle que: $\forall n\in\N,\;U_{n+1}=MU_n$ et les 3 cas indiqués par mikelenain seront certainement utiles.
Ensuite, il faudra s'intéresser à cette matrice et à ses puissances (valeurs propres, vecteurs propres ?).

par **Tunaki** » Lundi 13 Février 2012, 19:09

@Mikelenain
En fait, je me suis placé dans le cas $L\gg a$ pour simplifier.
J'ai réussi à calculer la probabilité qu'a la particule pour atteindre l'autre bout dans le cas 3D continu. Et je voudrais calculer la distance moyenne qu'elle a mis pour atteindre l'autre bout dans le cas 3D continu aussi. Sauf que, pour commencer, je me disais que ça serait certainement plus simple à faire en 1D discret.

@guiguiche
J'ai trouvé comme matrice $M$

une matrice nulle partout sauf dans la "haute" et "basse" diagonale où elle fait $\dfrac{1}{2}$ (la diagonale juste au dessus de la principale et celle juste en dessous). En cherchant les valeurs propres $\lambda$ de $M$

, je trouve comme relation récurrente $\forall n\in\N,~ D_{n+2} + \lambda D_{n+1} + \dfrac{1}{4} D_{n} = 0$ pour le déterminant correspondant. Wolfram Alpha confirme donc tout va bien.
En résolvant cette suite récurrente linéaire d'ordre 2 et en cherchant les racines du polynôme trouvé, je trouve $\forall k\in \llbracket 1,n \rrbracket,~ \lambda_k = \cos\left(\dfrac{k\pi}{n+1}\right)$ .

par **Tunaki** » Mardi 14 Février 2012, 21:23

Pour la matrice de passage, je trouve que son terme général est : $a_{ki} = \sin\left(\dfrac{ki\pi}{n+1}\right)$ .

par **Tunaki** » Mercredi 15 Février 2012, 20:29

Cependant, j'ai beaucoup de mal à l'inverser. Je n'arrive notamment pas à calculer le déterminant du système ie $\text{det}\,P$ avec $P$

la matrice de passage de terme général $a_{ki}$

par **guiguiche** » Mercredi 15 Février 2012, 21:13

Et il y a moyen d'orthonormaliser P (puisque M est symétrique) ?

par **Tunaki** » Mercredi 15 Février 2012, 22:53

Tiens c'est vrai que j'avais oublié ceci. En fait c'est super simple alors ! Pour l'orthonormaliser, il suffit de multiplier tous les coefficients par $\dfrac{2}{n+1}$ . Ainsi, l'inverse de la matrice de passage est simplement sa transposée !

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