Conjecture de Goldbach

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Conjecture de Goldbach

Messagepar nirosis » Lundi 06 Juin 2005, 18:43

nombre pair = somme de 2 nombres premiers

nombre impair = somme de 3 nombres premiers


Exemples :

$4=2+2   6=3+3    18 = 11 + 7$

C'est une conjecture que n'importe qui peut comprendre, mais que personne n'a pu démontré jusqu'à aujourd'hui (ni trouver un contre-exemple)

un article sur l'historique de cela : http://villemin.gerard.free.fr/ThNbDemo/Goldbach.htm
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Messagepar MB » Lundi 06 Juin 2005, 22:27

Il est indiqué sur ton lien que Schnirelmann a prouvé en 1931 que tout nombre paire était la somme d'au plus 300 000 nombres premiers. J'aimerais bien voir cette preuve pour savoir d'où sort ce nombre 300 000. Ce nombre est une majoration de ce que l'on a appelé la constante de Schnirelmann. D'après MathWorld, la dernière majoration date de 1995 et a été trouvée par Ramaré : sa valeur est 7.
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Messagepar Nightmare » Dimanche 12 Juin 2005, 15:34

Personnelement , je sens que la démonstration de Golbach (si elle existe , on sait jamais , selon Gödel ;)) va nous faire un annuaire comme celle de l'ultime théorème de Fermat. Qu'en pensez vous ? aprés tout leurs énoncés sont tout deux aussi simples ...

:)
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Messagepar MB » Dimanche 12 Juin 2005, 16:42

Oui, c'est fort possible qu'il faille également faire un long détour en dehors de la théorie de l'arithmétique pour prouver ce théorème. Cela confirmerait les dires de Gödel non ?
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Messagepar Nightmare » Dimanche 12 Juin 2005, 17:15

Je ne sais pas si ça les confirmerait , en effet , il est possible qu'il faille passer par une autre branche que l'arithmétique pour résoudre le probléme mais ce n'est pas parceque l'on prouve une formule dans une autre branche que celle dans laquelle elle est impliqué qu'il est impossible de prouver cette formule dans cette même branche , c'est juste que les mathématiciens ne sont juste pas arrivé à la prouver dans cette branche . Ce n'est pas parcequ'on a pas trouvé comment soigner le rhume que l'humanité aura toujours le nez qui coule ;)
Ce qui confirmerait Gödel , c'est que l'on prouve que la conjecture de Goldbach n'est pas démontrable en utilisant le language arithmétique usuel . Gödel traite de démontrer l'impossibilité de démontrer .

:)
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Messagepar Nightmare » Dimanche 12 Juin 2005, 17:18

Pardon , ce n'est pas : " il est possible qu'il faille passer par une autre branche que l'arithmétique pour résoudre le probléme" que je voulais faire entendre mais " il est possible que le mathématicien qui résoudra le probléme empreinte une autre branche que l'arithmétique pour sa démonstration"

:)
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Messagepar Tryphon » Dimanche 12 Juin 2005, 17:53

emprunte, pas empreinte :D

L'arithmétique en tant que telle est très mal définie, de toute façon. C'est certainement le domaine de la mathématique qui recouvre le plus de techniques différentes.

Attention à Gödel : c'est un théorème d'existence, mais comme tous les théorèmes d'existence, il est rarissime qu'une proposition donnée soit indémontrable. A part l'hypothèse du continu (et encore, c'est de la métamathématique, domaine où on a le plus de chances de rencontrer une assertion indémontrable), je ne vois pas de grande conjecture dont on ait montré qu'elle est indémontrable (suis-je clair).

Je me rappelle d'un gars qui prétendait avoir démontré que le grand Théorème de Fermat était indémontrable... deux ans avant que Wiles le fasse tomber :D
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Messagepar nirosis » Dimanche 12 Juin 2005, 17:56

A mon avis il est clair et net que ce n'est pas par des méthodes arithmétiques qu'on prouvera cette conjecture.

C'est encore plus simple que le théorème de Fermat mais il est plus dur de trouver dans quelle autre branche ça pourrait se traiter...

Je crois qu'il y a toujours un prix d' 1 million de dollar à celui qui trouve... Allez on se motive les gars :D

Le problème est surtout que peu de mathématiciens doivent se pencher sur le problème actuellement... Car cela ne doit pas présenter d'intérêt essentiel pour l'avancée de la science... Tout comme le théorème de Fermat, peu de mathématiciens au final se sont intéressés au sujet... Par exemple, Euler a toujours refusé de traiter ce problème. Il avait déclaré ne pas vouloir passer plusieurs années à essayer de démontrer un truc par forcément vrai et qui n'a aucune utilité pratique. Euler était plutôt pour les mathématiques appliquées, mais cela représente bien l'état d'esprit de beaucoup de matheux concernant le théorème de Fermat... Idem pour Goldbach je pense..
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Messagepar Tryphon » Dimanche 12 Juin 2005, 18:29

Encore une fois, ça dépend de ce que tu appelles l'arithmétique. Et de ce qu'on appellera arithmétique lorsqu'elle sera démontrée.
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Messagepar nirosis » Dimanche 12 Juin 2005, 18:47

Tryphon a écrit:Encore une fois, ça dépend de ce que tu appelles l'arithmétique. Et de ce qu'on appellera arithmétique lorsqu'elle sera démontrée.


C'est juste pour donner une idée de branche des maths... J'entend le sens éthimologique pas mathématique.
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Messagepar Nightmare » Dimanche 12 Juin 2005, 18:50

Vous croyez que Wiles s'est penché sur le sujet ? Tout de même , déja qu'il est trés réputé d'avoir démontré Fermat , si en plus il démontre Golbach !
Mais je pense tout de même d'aprés la nature de leurs énoncés respectifs que la démonstration de Golbach (si on la trouve un jour ;) ) sera beaucoup différente de celle qu'a donné Wiles pour Fermat , donc à vrai dire , peut-être que Wiles à de l'experience dans les courbes elliptiques mais je pense qu'il lui serait aussi compliqué de démontrer cette conjecture que lorsqu'il essayait de démontrer Fermat .

Aprés tout , Wiles est certes celui qui a conclut la démonstration , mais il faut aussi remerci taniyama , shimura et d'autres ;)

:)
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Messagepar nirosis » Dimanche 12 Juin 2005, 19:27

Nightmare a écrit:Vous croyez que Wiles s'est penché sur le sujet ?
Jord


Non je ne pense pas qu'il se soit penché sur le sujet. D'ailleurs je ne sais pas ce qu'il a fait après sa demonstration de Fermat ! (retraite aux bahamas ? :wink: )

Et comme toi j'imagine que la démonstration sera très différente, car a priori ça n'a rien à voir...

A mon avis, il faudrait qu'un chercheur (motivé !) y passe la majeure partie de sa vie pour tenter de le démontrer. Vue le monde actuel de la recherche (publie ou dégage) , je ne suis pas sûr que quelqu'un ait l'intention d'y passer son temps ! Ca serait risqué. Si Wiles avait échoué, je ne sais pas ce qu'il serait advenu de lui. Il a quand même eu de la chance de tomber au bon moment sur le travail des 2 Japonais !
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Messagepar Nightmare » Dimanche 12 Juin 2005, 19:35

Bon bah peut être que je vais me lancer dans la démonstration de cette conjecture , j'ai encore toute la vie devant moi n'étant qu'en 2nd :D

:)
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Messagepar nirosis » Dimanche 12 Juin 2005, 19:39

Nightmare a écrit:Bon bah peut être que je vais me lancer dans la démonstration de cette conjecture , j'ai encore toute la vie devant moi n'étant qu'en 2nd :D

:)
Jord


Tu as raison, Andrew Wiles a lui aussi commencé très jeune :D
C'est enfant qu'il s'est fasciné pour le problème de Fermat.
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Messagepar Nightmare » Dimanche 12 Juin 2005, 19:41

Oui enfin .. Personnelement je ne suis pas sur d'avoir envi de rester enfermé 7 ans dans un bureau ... Je fais des maths pour le plaisir , sans objectif concret (à part devenir prof) et surtout sans que ça alterne ma vie privé , chose qui est arrivé à Wiles .

:)
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Messagepar MB » Dimanche 12 Juin 2005, 23:01

En ce qui concerne l'arithmétique, j'ai toujours trouvé que cette branche était l'une des plus 'faible' en terme d'outils. Les notions foncdamentales (diviseur, pgcd, ...) sont très simples et les théorèmes fondamentaux à disposition sont peu nombreux et relativement peu puissants. Cette branche contient de fait un grand nombre de conjectures 'basiques' non démontrées et nombre de preuves relèvent soit de la méthode astucieuse (à l'aide des théorèmes de base) soit s'échappent dans une autre branche pour le gros du travail et reviennent conclure en arithmétique (cf. Fermat ou certaines applications de la théorie de Galois en arithmétique voir ici). D'ailleurs dans ce document, l'auteur donne une définition de l'arithmétique :

L’arithmétique est l’étude des variétés algébriques sur le corps $\mb{Q}$ des fractions.
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Messagepar Nightmare » Dimanche 12 Juin 2005, 23:13

Il faut savoir notamment que ce n'est qu'en 1899 que l'arithmétique des nombres cardineaux fut axiomatisée (par l'italien Giuseppe Peano).
Il y a 5 axiomes essentiels :

1. Zéro est un nombre
2. Le successeur immédiat d'un nombre est un nombre
3. Zéro n'est le successeur immédiat d'aucun nombre
4. Il n'existe pas deux nombres distincts possédant le même successeur immédiat
5. Toute propriété appartenant à zéro et au successeur immédiat de tout nombre possédant cette même propriété appartient à tous les nombres (ce dernier axiome exprime ce que l'on appelle souvent "principe d'induction mathématique")

Maintenant , si l'arithmétique n'est devenu un systéme formel qu'en 1899 , sur quels bases travaillaient les arithméticiens avant ? des conjectures peut-être comme tu le dis MB ...

:)
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Messagepar nirosis » Lundi 13 Juin 2005, 09:00

Tu as l'air bien calé en histoire des maths Nightmare ! Peut-être que je ramenerai quelques spécialistes d'histoire des maths sur le forum !

Pour le coup, je ne sais pas sur quoi ce basait les anciens.
Il faudrait déjà déterminer à partir de quelle date on peut commencer à parler d'arithmétique ! Avant le 16ème siècle ca devait etre bidon... Fermat est né en 1601 donc faudrait voir sur quoi il se basait à l'époque.
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Messagepar Nightmare » Lundi 13 Juin 2005, 09:39

Je pense que dès Pythagore et sa fameuse "Fraternité" on pouvait voir de l'arithmétique , du moin , c'est en ces temps qu'ont été découvertes les bases de ce que l'on utilise maintenant , telles que les nombres irrationnels , le plus connu .
Mais déjà Pythagore et ses disciples s'interressaient aux nombres arithmétiques (appelés plus tards entiers naturels) notamment les nombres dits parfait . Ce sont des nombres dont la somme des diviseur est égal au nombre lui même . Il prouva lui même que tout ces nombres s'écrive sous la forme $\rm a=2^{n}\times(2^{n+1}-1)$ , cette découverte , bien qu'inutile montrait déja les "pouvoirs" qu'avaient déjà les mathématiciens sur les nombres .

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Messagepar ShadowLord » Lundi 13 Juin 2005, 09:42

Tous les nombres parfaits pairs plutôt :wink:

Il me semble qu'il ne l'avait que conjecturé, et encore, non ?
Je crois que c'est Euler qui l'a démontré pour la première fois.

*Edit: Après recherches, c'est Euclide qui avait prouvé que si un nombre était de cette forme alors il était parfait, et c'est Euler qui en a démontré la réciproque.*
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