MathemaTeX

de MB » Lundi 06 Février 2006, 11:39

Le 15 décembre 2005, le 43ème nombre de Mersenne a été découvert par Dr. Curtis Cooper and Dr. Steven Boone. Il s'agit de $2 ^{30402457}-1$ . Il s'agit également du plus grand nombre premier connu qui compte $9152052$

chiffres. Ce nombre premier a été vérifié en france, à Grenoble.

Source : www.mersenne.org

Non. 700 PCs, c'est le nombre de machines utilisées par l'Université où un PC a trouvé M43. A: http://www.mersenne.org/primenet/status.shtml, on voit qu'il y a 80.000 PCs enregistrés et probablement un peu moins qui contribuent au GIMPS, soient 22 GFlops. Pour M44, la courbe théorique le prévoit en mi-2006. Parions qu'il arrive avant fin 2006.

Voir ma traduction de la page du GIMPS: http://www.mersenne.org/french_prime.htm
Tony (GIMPS addict)

de pb » Lundi 03 Avril 2006, 22:03

Il est intéressant de noter que pour tester la primalité des nombres de la forme $2^n-1$

(les nombres de Mersenne), il y a un algorithme tout simple basé sur un théorème appelé "test de Lucas-Lehmer". La preuve du théorème est très jolie et utilise de l'arithmétique niveau agrégation (on y utilise la loi de réciprocité quadratique et on peut même parler du théorème de Hilbert 90 !).

Voici le théorème ("test de Lucas-Lehmer") : on définit une suite $(u_n)$

en posant

et $u_{n+1}=u_n^2-2$ . Alors : pour tout $n\ge 3$ , $2^n-1$

est premier si et seulement s'il divise $u_{n-2}$ .

D'où l'algorithme : $n$

étant donné, on calcule $u_{n-2}$ naïvement, mais modulo $2^n-1$

, et on regarde si on trouve $0$

.

de **T.Rex** » Mardi 04 Avril 2006, 09:29

pb a écrit:Il est intéressant de noter que pour tester la primalité des nombres de la forme (les nombres de Mersenne), il y a un algorithme tout simple basé sur un théorème appelé "test de Lucas-Lehmer". La preuve du théorème est très jolie et utilise de l'arithmétique niveau agrégation (on y utilise la loi de réciprocité quadratique et on peut même parler du théorème de Hilbert 90 !)...

Voir : http://www.mersennewiki.org/index.php/Lucas-Lehmer_Test. Moi-même et d'autres contributeurs y fournissons des informations très intéressantes et peu connues sur le LLT. Il existe également des preuves du LLT utilisant des propriétés beaucoup plus simples, mais plus longues. Voir le livre de P. Ribenboim: A Little Book for Bigger Primes.

Tony

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[News] 43ème nombre de Mersenne

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