Enigme Géométrique

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Enigme Géométrique

Messagepar nirosis » Jeudi 20 Avril 2006, 20:11

Voici le raisonnement géométrique suivant:

D'abord, voici la figure considérée:

- Soit $ABC$ un triangle quelconque.
- Soit $(OA)$ la bissectrice de l'angle $\hat{A}$.
- $O$ est le point d'intersection entre la médiatrice de $[BC]$ et $(OA)$, $H$ est le pied de cette médiatrice.
- Soient $(OM)$ et $(ON)$ les perpendiculaires aux cotés $(AB)$ et $(AC)$ passant par $O$.


Nous avons les affirmations suivantes:

- Les triangles rectangles $BMO$ et $ONC$ sont les mêmes (en raison de médiatrice + bissectrice) donc $MB=NC$.
- Enfin $OMA$ et $ONA$ sont identiques (en raison de hypothénuse commune et bissectrice $(OA)$). Donc $AM=AN$.


En résumé : $AB$=$AC$. Le triangle $ABC$ est donc isocèle.

En faisant le même raisonnement sur les autres sommets, on a : $ABC$ est équilatéral...

Donc tout triangle quelconque est équilatéral. Ou est l'erreur ?

Ps : pour relever le défi "dans les règles", ne pas refaire de figure !

Ps2 : J'espère ne pas m'être planté dans l'énoncé, c'est fait de mémoire !
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La figure correspondante
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Messagepar guiguiche » Vendredi 21 Avril 2006, 07:32

C'est quoi cette escroquerie sur les triangles BMO et CNO ? Quel est le raisonnement sous-jacent à "médiatrice+bissectrice" ? A quoi sert la bissectrice ici ?

La médiatrice et la projection orthogonale assurent seulement de l'égalité d'un côté et de l'égalité d'un angle.
La bissectrice n'amène aucun renseignement patent, non ?
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Messagepar nirosis » Vendredi 21 Avril 2006, 08:14

La bissectrice amène $OM=ON$ (notamment car on a pris les perpendiculaires après).
Et la médiatrice amène $OB=OC$. Et en plus ils sont rectangles...
Je crois que c'est bon non ?
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Messagepar guiguiche » Vendredi 21 Avril 2006, 09:26

Le point O n'est pas défini lorsque le triangle est isocèle en A.
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Messagepar MB » Vendredi 21 Avril 2006, 09:33

guiguiche a écrit:Le point O n'est pas défini lorsque le triangle est isocèle en A.


En effet.
MB (Pas d'aide en Message Privé)
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Messagepar guiguiche » Vendredi 21 Avril 2006, 09:37

OK pour les longueurs donc les points A, M et B ne sont pas alignés dans cet ordre.
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Messagepar nirosis » Vendredi 21 Avril 2006, 09:40

guiguiche a écrit:Le point O n'est pas défini lorsque le triangle est isocèle en A.


Oui. On peut le choisir où on veut sur [AH] disons.

guiguiche a écrit:OK pour les longueurs donc les points A, M et B ne sont pas alignés dans cet ordre.


Exact, c'est le point critique :wink:
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Messagepar guiguiche » Vendredi 21 Avril 2006, 09:43

Le point O n'est donc pas à l'intérieur du triangle.
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Messagepar nirosis » Vendredi 21 Avril 2006, 09:49

Oui ! gagné :D

Ce pb est un bon exemple des faux raisonnements qu'on peut faire avec une figure faite "main levée"...
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Messagepar cerise » Vendredi 21 Avril 2006, 10:25

J'en avais une autre dans le même genre... J'essaierai de retrouver...
Il fallait être Newton pour apercevoir que la Lune tombe quand tout le monde voit bien qu'elle ne tombe pas.
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Messagepar Bruno » Vendredi 21 Avril 2006, 17:25

Je ne voudrais pas troubler votre heureuse conclusion, mais que le point O soit intérieur ou extérieur au triangle ne change rien à la question, la preuve : ici AB = AK - KB = AL - LC = AC.
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Triangle.png
Figure du cas O extérieur au triangle.
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Messagepar nirosis » Vendredi 21 Avril 2006, 17:43

Pourquoi LC et KB n'ont pas la même longueur à vue d'oeil ? Car la figure semble faite avec un logiciel.
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Messagepar Bruno » Vendredi 21 Avril 2006, 17:48

A vue d'oeil, mon oeil "La géométrie est l'art de raisonner juste sur une figure fausse" :wink: .

Sérieusement, le point $O$ appartient à la bissectrice de l'angle $\widehat{BAC}$ donc $OK = OL$. Il appartient à la médiatrice de $[BC]$, donc $OB = OC$ et les deux triangles sont rectangles, donc $KB = LC$.

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Messagepar Bruno » Vendredi 21 Avril 2006, 17:49

Au fait, tu as raison mais Cabri n'est pas un bon logiciel, il fait croire des choses qui sont fausses :lol:
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Messagepar nirosis » Vendredi 21 Avril 2006, 17:55

Je dois plus me rappeler de la solution de l'énigme alors ou bien on me l'a jamais donnée ! car ça tient aussi si O est à l'extérieur c'est vrai. Pourtant je me souvenais d'une astuce de ce style...

ps : c'est étonnant une si grosse erreur sur une figure si simple (cf cabri)
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Messagepar Bruno » Vendredi 21 Avril 2006, 18:06

Allez, je te joins une belle figure Cabri.

D'après le théorème de cocyclicité, les angles $\widehat{ABO}$ et $\widehat{ACO}$ sont supplémentaires, donc, soit ils sont égaux et le triangle $ABC$ est isocèle de sommet $A$ soit ils sont inégaux et l'un des deux points $L$ ou $K$ appartient à un segment côté du triangle et l'autre n'y appartient pas.
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Messagepar nirosis » Vendredi 21 Avril 2006, 23:06

Ah ok effectivement, c'est plus clair avec cette figure... Merci d'avoir corrigé nos (mes) "bêtises"... Tu as rétabli la vérité sur cette escroquerie.

La figure précédente était du cabri truqué alors ? je suis trop naïf... et surtout j'ai pas installé cabri :lol:
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Messagepar Bruno » Vendredi 21 Avril 2006, 23:24

Bien sûr que c'était su Cabri truqué :wink: la bissectrice n'en était pas une et la médiatrice non plus.
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