Univers image d'un couple

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Univers image d'un couple

Messagepar Tonn83 » Vendredi 06 Juin 2014, 19:56

Bonjour,

Si $X$ est une variable aléatoire réelle $X$ définie sur un univers $\Omega$, l'univers image de $X$ désigne la partie de $\R$ donnée par $X(\Omega)=\{X(\omega)\,|\,\omega\in\Omega\}$. Qu'en est-il d'un couple $(X,Y)$ de variables aléatoires réelles défini sur $\Omega$ ? J'ai rencontré deux acceptations possibles :
  • L'ensemble des valeurs de $(X,Y)$, c'est-à-dire $\{(x,y)\in\R^2\,|\,\exists \omega\in\Omega\, , \; X(\omega)=x\text{ et } Y(\omega)=y\}$ ;
  • Ou le produit direct des images de $X$ et $Y$, c'est-à-dire $X(\Omega)\times Y(\Omega)$.
Quelle définition utilisez-vous dans vos cours ? Pourquoi ? Quelle définition vous semble-t-elle la plus naturelle ? Arguments en faveur de l'une ou de l'autre ? Merci.

Je préfère de loin la première définition, d'autant plus justifiée lorsque cet univers image se note $(X,Y)(\Omega)$.
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Re: Univers image d'un couple

Messagepar guiguiche » Mardi 10 Juin 2014, 09:49

Le deux ensembles ne sont pas égaux en général lorsque les deux variables sont liées ! Le premier est inclus dans le second.
Par exemple dans une urne contenant des jetons numérotés de 1 à n, X désigne le numéro du premier jeton tiré ; avant d'effectuer un second tirage dont le résultat sera Y, on enlève de l'urne tous les jetons portant un numéro supérieur à X et on ajoute le jeton numéro 0. Dans ce cas $X(\Omega)\times Y(\Omega)=\llbracket1,n\rrbracket\times\llbracket0,n-1\rrbracket$ mais $(X,Y)(\Omega)=\{(i,j)\mid 0\leqslant j<i\leqslant n\}$.
Pas d'aide par MP : les questions sont publiques, les réponses aussi.
Tu as apprécié l'aide qui t'a été fournie ? Alors n'hésite pas à rendre la pareille à quelqu'un d'autre.
Un peu d'autopromotion.
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Re: Univers image d'un couple

Messagepar Tonn83 » Lundi 23 Juin 2014, 07:18

Merci guguiche, mais vous avez mal lu mon premier message :lol:

La question était de savoir quelle définition utiliser dans l'enseignement en France. Car bien évidemment les deux définitions ne sont pas équivalentes et pourtant les deux se rencontrent dans des cours. J'aimerais donc savoir si l'une de ces définitions s'impose et si oui, pour quelles raisons.
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