Un ensemble de K-ev

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Un ensemble de K-ev

Messagepar M Tevuac » Mardi 05 Août 2008, 09:23

Bonjour,
Merci d'avance à celui ou celle qui me dira pourquoi il n'existe pas d'ensemble de tous les K-ev.
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Re: Un ensemble de K-ev

Messagepar Valvino » Mardi 05 Août 2008, 13:20

Hum c'est lié au fait qu'il n'existe pas d'ensemble de tous les ensembles, d'après le théorème de Cantor. Par exemple, on peut voir qu'il n'existe pas d'ensemble de tous les groupes, car on peut donner une structure de groupe à l'ensemble des parties d'un ensemble avec la loi de différence symétrique. Un argument similaire montre qu'il n'existe pas d'ensemble de tous les K-ev.

Pour plus d'informations : http://les-mathematiques.u-strasbg.fr/phorum5/read.php?7,433027
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Re: Un ensemble de K-ev

Messagepar jobherzt » Jeudi 28 Août 2008, 10:30

Sauf erreur de ma part, l'argument le plus simple consiste a remarquer que pour tout ensemble $A$, l'ensemble $\{A\}$ peut trivialement etre muni d'une structure d'espace vectoriel, de groupe, ou de à peu pres ce que tu veux, en fait... Donc l'ensemble des espaces vectoriels, s'il existe, contient l'ensemble de tous les ensembles -> contradiction.

Mais il faut comprendre que ceci tient a la definition mathematique d'ensemble, en fait on peut tout a fait considerer "le truc qui contient tous les K-e.v." sauf qu'on a pas le droit d'appeller ca un ensemble (meme si intuitivement ca y ressemble). En general on appelle ca une collection, ou une classe.

Pour manipuler ces collections, on se place dans le cadre de la theorie des categories qui est extremement puissante. On peut ensuite definir des structures sur ces categories, qui ressemble a ce qu'on connait : par exemple au lieu d'avoir des monoides, on a des categories monoidales, au lieu des monoides commutatifs des categories monoidales tressées, etc... Ces structures sont en general bien plus complexes que leurs copains ensemblistes, il y a beaucoup plus de precautions a prendre.
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Re: Un ensemble de K-ev

Messagepar francois » Vendredi 29 Août 2008, 14:36

jobherzt a écrit:Mais il faut comprendre que ceci tient a la definition mathematique d'ensemble, en fait on peut tout a fait considerer "le truc qui contient tous les K-e.v." sauf qu'on a pas le droit d'appeller ca un ensemble (meme si intuitivement ca y ressemble). En general on appelle ca une collection, ou une classe.

Attention, il n'y a pas de définition mathématique de la notion d'ensemble (ni même de la notion d'appartenance). Ce sont des notions primitives. Les seules choses définies mathématiquement, ce sont les axiomes vérifiés par la relation $x \in y$.
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Re: Un ensemble de K-ev

Messagepar jobherzt » Vendredi 29 Août 2008, 14:48

Oui, je sais, je voulais rester vague, mais tu as raison de le rappeller.
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Re: Un ensemble de K-ev

Messagepar francois » Vendredi 29 Août 2008, 15:18

Ah d'accord, il me semblait bien. :wink:

Les limites entre le langage intuitif et le langage mathématique sont assez floues en théorie des ensembles je trouve.
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Re: Un ensemble de K-ev

Messagepar jobherzt » Vendredi 29 Août 2008, 15:22

Oui, je voulais attirer l'attention sur le fait que c'est un probleme de consistance logique qui fait qu'on ne peut pas mettre ca au "meme niveau" que les ensemble, mais qu'il existe bien un "truc qui contient tous les espaces vectoriels", ce qui est quand meme rassurant :)
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Re: Un ensemble de K-ev

Messagepar francois » Vendredi 29 Août 2008, 15:26

Oui, tu as raison de dire que c'est une histoire de niveau de langage. Mais il y a combien de niveaux ? Où commencent les maths, où s'arrêtent-elles (dans les niveaux) ? Moi, tout ça ne me rassure pas. :wink:
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