Types de démonstrations

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Types de démonstrations

Messagepar M@rion » Jeudi 11 Septembre 2008, 09:40

Bonjour,

Est-ce que quelqu'un peut me donner un exemple très simple pour m'aider à bien distinguer démonstration par propriété directe ou condition nécessaire d'une part, et d'autre part, démonstration par propriété réciproque ou condition suffisante ?

Merci !
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Re: Types de démonstrations

Messagepar rebouxo » Jeudi 11 Septembre 2008, 11:12

Il faut bien distinguer ce que tu tiens pour vraie et ce que tu cherches à démontrer.

Prenons le théorème de Pythagore :
Un triangle $ABC$ est rectangle en $A$ si et seulement $BC^2 = AB^2+BC^2$.

Pour démontrer le sens direct, tu suppose que ton triangle est rectangle et tu essaye d'en déduire l'égalité.
Pour démontrer la réciproque, tu part de l'égalité et tu essaye de démontrer que le triangle est rectangle.

On exprime souvent cela sous la forme de phrase conditionnelle :
Si A est vraie alors B est vraie pour le sens direct, le sens indirect serait :
Si B est vraie alors A est vraie. Attention ceci n'est pas toujours vraie...

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Re: Types de démonstrations

Messagepar M@rion » Jeudi 11 Septembre 2008, 11:43

Merci beaucoup pour votre aide, l'explication est très claire.
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Re: Types de démonstrations

Messagepar M@rion » Jeudi 11 Septembre 2008, 14:24

Juste une petite question après relecture : s'agit-il toujours de deux propriétés ? (Ou cela s'applique-t-il à des propositions entières ?). Merci pour votre réponse.
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Re: Types de démonstrations

Messagepar francois » Jeudi 11 Septembre 2008, 19:22

Je ne comprends pas trop ta question. Une propriété (ou proposition ou théorème etc.) c'est juste un énoncé qui admet une démonstration. La propriété ce n'est rien d'autre que ton énoncé.

Il y a des énoncés qui sont seulement des implications. Par exemple : « si Pierre a son permis de conduire, alors Pierre a au moins 18 ans ». Ça c'est une implication de la forme "A implique B" avec :

A : « Pierre a son permis de conduire »
B : « Pierre a au moins 18 ans »

On peut dire également et indifféremment : (attention à l'ordre entre A et B ; si tu n'es pas convaincue remplace A et B par leur énoncé respectif. À mon avis, c'est une chose à méditer jusqu'à ce que ça soit clair dans ta tête)
- Si A est vraie alors B est vraie
- A implique B
- Pour que B soit vraie, il suffit que A soit vraie
- A est une condition suffisante pour que B soit vraie
- Pour que A soit vraie, il faut nécessairement que B soit vraie
- B est une condition nécessaire pour que A soit vraie

Et puis parfois, tu as des énoncés qui sont des équivalences du genre "A est vraie si et seulement si B est vraie" ou "A équivaut à B". Et un énoncé qui est une équivalence, c'est en fait une implication et sa réciproque. Par exemple le théorème de Pythagore : « un triangle ABC est rectangle en A si et seulement si $BC^2 = AB^2+AC^2$ ». C'est un seul énoncé, mais il est vrai qu'il se décompose en réalité en deux implications. Pour être précis, cet énoncé est complètement équivalent à « si le triangle ABC est rectangle A alors $BC^2 = AB^2+AC^2$, et réciproquement, si $BC^2 = AB^2+AC^2$ alors le triangle est rectangle en A ». C'est juste plus rapide d'écrire un « si et seulement si ». Le théorème de Pythagore reste quand même un unique énoncé d'un seul tenant, même si je te l'accorde, c'est un énoncé qui est la conjonction (à cause du "et") de deux sous-énoncés (les deux implications réciproques), et donc il y a de fortes chances pour que la démonstration du théorème de Pythagore se décompose en deux parties (une pour chaque implication en l'occurrence).


J'espère que ça t'as un peu aidé même si je ne suis pas sûr car je me demande si j'ai bien saisi ta question.
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Re: Types de démonstrations

Messagepar M@rion » Vendredi 12 Septembre 2008, 20:07

Bonsoir,

Je crois que cela m'a bien aidée, merci. En fait je viens de comprendre ma question :lol: Je me demandais en utlisant des termes peut-être inappropriés si cela ne pouvait s'appliquer qu'à un nombre restreint de propriétés ou à des ensembles plus complexes. Mais je ne maîtrise pas les différentes notions (énoncé, proposition, théorème, etc.). Peut-être quelques recherches me seraient-elles bénéfiques lorsque j'aurai un peu de temps.

Merci encore
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Re: Types de démonstrations

Messagepar francois » Samedi 13 Septembre 2008, 00:11

M@rion a écrit:Je me demandais en utlisant des termes peut-être inappropriés si cela ne pouvait s'appliquer qu'à un nombre restreint de propriétés ou à des ensembles plus complexes.

Ah je suis désolé, mais je ne comprends pas ta question. De quoi tu parles quand tu dis "cela" dans ta phrase ?

M@rion a écrit:Mais je ne maîtrise pas les différentes notions (énoncé, proposition, théorème, etc.). Peut-être quelques recherches me seraient-elles bénéfiques lorsque j'aurai un peu de temps.

Des recherches, franchement ce n'est pas la peine. Regarde, c'est assez simple en fait :

Un énoncé en mathématique, intuitivement on peut dire que c'est simplement une phrase mathématique qui admet une valeur de vérité "Vrai" ou "Faux", c'est tout. Par exemple "-1 est positif" est un énoncé (faux en l'occurrence) et "un nombre réel au carré est toujours positif ou nul" est un énoncé aussi (mais vrai celui là). Par contre "$2^n\times\exp(2x+4)$" n'est pas un énoncé (il n'a pas de valeur de vérité).

Il y a deux types d'énoncés :

1) Les théorèmes :
On peut dire intuitivement que c'est un énoncé dont on sait, grâce à une démonstration, qu'il est vrai. On pourrait qualifier de théorème plein de choses sans intérêt comme "$x^2+1>0$ pour tout réel $x$", mais en général on préfère qualifier de théorème uniquement des résultats qui ont une certaine importance. On utilise même des termes différents pour mesurer le degré d'importance du résultat comme les termes "proposition" ou "lemme" aussi. Mais tous les termes "théorème", "proposition" ou "lemme" sont, du point de vue logique, synonymes : ce sont des énoncés dont on sait, grâce à une démonstration, qu'il sont vrais. Le terme choisi correspond au degré d'importance que l'on accorde au résultat.

théorème --> Très important
proposition --> moins important
lemme --> encore moins important (en général un lemme sert à démontrer un théorème)

Et encore, c'est assez arbitraire cette notion d'importance car il y a des lemmes qui pourraient très bien s'appeler théorème.

2) Les axiomes :
Ce sont des énoncés que l'on suppose vrai (sans en faire la démonstration) et qui servent de premier résultats (admis du coup) pour échafauder une théorie mathématique. Car on ne peut pas construire de théorie sans axiomes, il faut bien partir de quelque chose au départ : en partant de rien, la seule chose qu'on pourra démontrer, c'est ... rien (pas de théorie). Par exemple, dans la géométrie d'Euclide, "deux points passent par une et une seule droite" est un axiome.

Voilà. Une dernière chose, le terme "proposition" est souvent utilisé comme synonyme d'"énoncés".
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Re: Types de démonstrations

Messagepar M@rion » Samedi 13 Septembre 2008, 08:25

Merci beaucoup !
Quant à ma question, elle était mal formulée, en fait je voudrais simplement savoir si A et B sont obligatoirement un nombre limité de propriétés (ex : 2).
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Re: Types de démonstrations

Messagepar francois » Samedi 13 Septembre 2008, 10:25

Je suis vraiment désolé mais je ne comprends pas ta question. C'est quoi A et B dans ta question et qu'entends tu par "propriété" dans ta question ?
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Re: Types de démonstrations

Messagepar M@rion » Samedi 13 Septembre 2008, 12:01

C'est normal, je crois que je confonds propriété et prédicat.
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Re: Types de démonstrations

Messagepar Garulfo » Vendredi 03 Octobre 2008, 02:17

francois a écrit:[...]
théorème --> Très important
proposition --> moins important
lemme --> encore moins important (en général un lemme sert à démontrer un théorème)

Et encore, c'est assez arbitraire cette notion d'importance car il y a des lemmes qui pourraient très bien s'appeler théorème.


C'est complètement arbitraire en fait ;)
Un théorème n'a pas d'intérêt en soi en mathématique. C'est uniquement ses capacités à permettre de démontrer autre chose. Attention, je ne dis pas que dans d'autre matière les résultats induits par le théorème n'aient pas d'importance, juste qu'en math, ça l'est moins.
En posant cela, on se rend compte que le lemme devient aussi important que le théorème. Et certains lemmes sont plus important qu'un grand nombre de théorème (exemple « lemme de Zorn » qui n'est finalement qu'un axiome selon l'angle d'observation).

Donc au finalement, proposition, énoncé, théorème, lemme, corolaire… tout ce vaut peu ou prou. Ce n'est que plusieurs fois le même mot. Mais c'est vrai qu'on emploi énoncé et proposition de manière général; théorème pour marquer un résultat important; lemme pour marquer un résultat permettant la démonstration d'un autre; corolaire pour marquer un résultat qui se déduit « rapidement » d'autres propositions.
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Re: Types de démonstrations

Messagepar M@rion » Vendredi 03 Octobre 2008, 13:05

Merci à vous pour ces réponses très complètes et très intéressantes :D
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