Théorie des opérateurs

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Théorie des opérateurs

Messagepar intrue » Jeudi 18 Juin 2009, 12:34

Bonjour,

un opérateur A appliquant biunivoquement un espace de banach vers un autre espace de Banach, veut dire quoi ?
Est ce que le théorème d'isomorphisme de Banach reste valable pour les Hilberts?
Quelle est la condition pour laquelle un élément dans un espace de Banach admet un développement en série entière ?
Merci d'avance pour m'avoir répondu!!!
intrue
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Re: Théorie des opérateurs

Messagepar OG » Jeudi 18 Juin 2009, 15:36

intrue a écrit:un opérateur A appliquant biunivoquement un espace de banach vers un autre espace de Banach, veut dire quoi ?

bijection
intrue a écrit:Est ce que le théorème d'isomorphisme de Banach reste valable pour les Hilberts?

Un Hilbert est-il un Banach ?
intrue a écrit:Quelle est la condition pour laquelle un élément dans un espace de Banach admet un développement en série entière ?

Peux-tu préciser la question ?

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Re: Théorie des opérateurs

Messagepar intrue » Jeudi 18 Juin 2009, 18:35

Merci infiniment
OG a écrit:Un Hilbert est-il un Banach ?
O.G.

Moi je sais que un Hilbert est inclus dans un Banach :roll:, j'aime bien que vous me corriger !
Peux-tu préciser la question ?

quand est ce la série converge?
Merci :D
intrue
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Re: Théorie des opérateurs

Messagepar OG » Jeudi 18 Juin 2009, 19:13

Un Hilbert est un espace préhilbertien complet pour la norme induite par le produit scalaire. Un espace de Hilbert est donc un espace de Banach .point.

Quant à la question sur la série, je ne comprends pas.

O.G.
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Re: Théorie des opérateurs

Messagepar intrue » Vendredi 19 Juin 2009, 12:38

Bonjour,
Merci infiniment pour tes réponses.
J'ai trouvé ce théorème dans le livre de Kolmogorov :
Soit $E$ un espace de Banach, $M$ un ensemble partout dense dans $E$.Alors, $y=y1+y2+...+yn+...$ avec $yk \in M$ et $||yk||<3||y||/2^k$.
je voulais savoir est ce qu'il est toujours possible que ce y est développable en des élément qui appartienne à E (sans passer par M)?
intrue
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Re: Théorie des opérateurs

Messagepar Valvino » Vendredi 19 Juin 2009, 12:51

Je ne comprends pas trop ta question. Si j'ai bien suivi, tu prends un Banach $E$, une partie $M \subset E$ dense. Ton théorème dit que pour tout $y \in E$, il existe une suite $(y_n)_n$ d'éléments de $M$ tel que

$$y = \sum_{n \geq 0} y_n$$


et pour tout $n$

$$||y_n|| \leq 3\frac{||y||}{2^n}$$


c'est ça?

Ben tu peux toujours remarquer que $y=y$, donc $y$ s'exprime à l'aide d'éléments de $E$ (en gros $E$ est dense dans lui-même!).

Par contre, il est faux de dire que ca va marcher avec $E-M$, c'est-à-dire qu'il n'y a aucune raison pour que $E-M$ soit dense dans $E$. En d'autres termes, $y$ ne s'exprimera pas à l'aide d'une suite (ou d'une série) d'éléments de $E-M$. Par exemple si $M=E$. Par contre ca marche dans le cas $E=\R$ et $M=\Q$.

Est-ce que cela répond à ta question?
Valvino
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Re: Théorie des opérateurs

Messagepar OG » Vendredi 19 Juin 2009, 13:05

intrue a écrit:je voulais savoir est ce qu'il est toujours possible que ce y est développable en des élément qui appartienne à E (sans passer par M)?


Réponse semi-saignante : aucun intérêt hors contexte avec $E$ qui remplace $M$ !
$y=y$ (comme le dit Valvino) suffit pour ta série !

O.G.
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