Théorèmes de Gödel

Discussions générales concernant les mathématiques.
[ce forum est modéré par les modérateurs globaux du site]
Règles du forum
Merci d'éviter le style SMS dans vos messages et de penser à utiliser la fonction Recherche avant de poster un message. Pour joindre des fichiers à vos messages, consulter ce sujet.
> Penser à utiliser le mode LaTeX (voir ici) afin de rendre vos formules plus lisibles.
> Pour obtenir de l'aide sur un exercice ou un problème, consulter cette section. (ce forum est destiné aux discussions plutôt théoriques)

Messagepar MB » Lundi 24 Octobre 2005, 20:57

icare_1er a écrit:A titre indicatif, l'hypothèse du continu de Cantor était à la fois vraie et fausse, c'est d'ailleurs ce qui l'a rendu fou.


Oui, je comprends que ça rende fou ...
Moi j'aimerais bien comprendre le sens de "à la fois vraie et fausse" (comment on montre que c'est vrai et faux). Je veux bien éventuellement que ce soit ni vrai ni faux (indécidable) ...
MB (Pas d'aide en Message Privé)
Merci d'utiliser $\LaTeX$ (voir ici) et d'éviter le style SMS pour la lisibilité des messages.
MB
Administrateur
 
Messages: 6892
Inscription: Samedi 28 Mai 2005, 13:23
Localisation: Créteil
Statut actuel: Actif et salarié | Enseignant

Publicité

Messagepar Bruno » Mardi 25 Octobre 2005, 14:36

Bonjour MB.

Je me cantonnerai aux langages du premier ordre : un seul type de variables, une infinité (dénombrable) de variables, une famille de symboles relationnels, le symbole d'égalité.

Pour la "prouvabilité", c'est simple : un énoncé est "prouvable" s'il existe une démonstration de celui-ci à partir des axiomes de la théorie envisagée ; s'il faut que je te précise la notion de démonstration, je peux le faire.

D'après le théorème de complétude du calcul des prédicats (Gödel), un énoncé est donc prouvable si, et seulement si, il est valide dans tout modèle de la théorie.

Maintenant, "la vérité" c'est plus délicat :twisted: .

D'abord, il ne faut pas confondre la "vérité" d'un énoncé avec les valeurs de vérité des propositions. Cette dernière notion n'est que la façon de faire de la sémantique des propositions et n'a de rapports qu'intuitifs avec la notion de "vérité".

A priori, un énoncé est vrai si et seulement si il est prouvable et il est sage de s'arrêter là :( . Quand on fait la différence avec la déductibilité on entre dans la métaphysique. Donc entrons-y carrément, je t'ai prévenu :D .

Prenons l'exemple le plus simple : le premier énoncé non démontrable qu'a exhibé Gödel a une interprétation assez simple ; il signifie simplement : "Je suis un énoncé non démontrable". La partie géniale du travail de Gödel n'a pas été de construire cet énoncé qui est connu sous le nom du paradoxe du barbier, le génie de Gödel a consisté à construire tout le codage permettant de rendre les énoncés arithmétiques auto-référents.

Cet énoncé est nécessairement vrai sauf si l'arithmétique est contradictoire, mais il n'est pas démontrable à moins d'être faux.

Peut-être pourrais-tu revenir à http://les-mathematiques.u-strasbg.fr/phorum/read.php?f=2&i=206886&t=206089#reply_206886

Où il y a eu une discussion sur les "énoncés vrais, non démontrables".

Quant à écrire que l'hypothèse du continu est à la fois vraie et fausse, il est préférable de dire qu'elle est non contradictoire avec ZF et non déductible de cette même théorie.

Bruno
Bruno
Bruno
Kilo-utilisateur
 
Messages: 116
Inscription: Vendredi 19 Août 2005, 18:09
Localisation: Clermont-Ferrand

Messagepar MB » Mardi 25 Octobre 2005, 15:48

Bruno a écrit:s'il faut que je te précise la notion de démonstration, je peux le faire.


Non, c'est bon. Merci.

Bruno a écrit:A priori, un énoncé est vrai si et seulement si il est prouvable et il est sage de s'arrêter là :( .


Oui, je m'étais arrêté là.

Bruno a écrit:Quand on fait la différence avec la déductibilité on entre dans la métaphysique. Donc entrons-y carrément, je t'ai prévenu :D .


Je suis prêt ! :wink:

Bruno a écrit:Cet énoncé est nécessairement vrai sauf si l'arithmétique est contradictoire, mais il n'est pas démontrable à moins d'être faux.


Là je ne comprend pas. Je vais regarder le post que tu m'as indiqué.

Bruno a écrit:Quant à écrire que l'hypothèse du continu est à la fois vraie et fausse, il est préférable de dire qu'elle est non contradictoire avec ZF et non déductible de cette même théorie.


Cette formulation ne me pose pas de problème. Pour moi cela signifie qu'elle n'est pas décidable et non qu'elle est à la fois vraie et fausse.
MB (Pas d'aide en Message Privé)
Merci d'utiliser $\LaTeX$ (voir ici) et d'éviter le style SMS pour la lisibilité des messages.
MB
Administrateur
 
Messages: 6892
Inscription: Samedi 28 Mai 2005, 13:23
Localisation: Créteil
Statut actuel: Actif et salarié | Enseignant

Messagepar Bruno » Mardi 25 Octobre 2005, 16:12

Là je ne comprend pas. Je vais regarder le post que tu m'as indiqué.


J'essaye d'être plus explicite.

Si notre énoncé est "faux", comme il dit "Je suis un énoncé..." (ce qui ne souffre pas discussion) "...non démontrable", cela signifie que cet énoncé est démontrable, or tout ce qui est démontrable est vrai (ou alors, que faisons-nous ici ?). Donc notre énoncé ne peux pas être faux, à moins d'admettre que l'arithmétique ne permette de démontrer un énoncé faux ce qui signifie qu'elle est contradictoire.

Nous avons donc là, sous-réserve de la non contradiction de l'arithmétique un énoncé qui est nécessairement vrai et qui n'est pas démontrable.
Bruno
Bruno
Kilo-utilisateur
 
Messages: 116
Inscription: Vendredi 19 Août 2005, 18:09
Localisation: Clermont-Ferrand

Messagepar MB » Mardi 25 Octobre 2005, 16:32

Bruno a écrit:Si notre énoncé est "faux", comme il dit "Je suis un énoncé..." (ce qui ne souffre pas discussion) "...non démontrable", cela signifie que cet énoncé est démontrable, or tout ce qui est démontrable est vrai (ou alors, que faisons-nous ici ?). Donc notre énoncé ne peux pas être faux, à moins d'admettre que l'arithmétique permet de démontrer un énoncé faux ce qui signifie qu'elle est contradictoire.


Oui, c'est bien ce que j'avais compris. Lorsque tu dis "tout ce qui est démontrable est vrai", je suis à priori d'accord. Cependant, ce qui me pose problème c'est :

Théorème d'inconsistance : Il se peut que, dans certains cas, on puisse démontrer une chose et son contraire.


Il est donc possible qu'une chose et son contraire soit vraies ? (l'énoncé de ce théorème doit être très approximatif ...)

Bruno a écrit:Nous avons donc là, sous-réserve de la non contradiction de l'arithmétique un énoncé qui est nécessairement vrai et qui n'est pas démontrable.


Si je comprend bien, on fait plus ou moins un raisonnement par l'absurde : puisque ça n'est pas faux, c'est que c'est vrai ! Je suppose que l'on ne peux pas faire ce type de raisonnement dans un système inconsistant !? Il y a un rapport entre l'inconsistance et ce que tu appelles la non contradiction ?
MB (Pas d'aide en Message Privé)
Merci d'utiliser $\LaTeX$ (voir ici) et d'éviter le style SMS pour la lisibilité des messages.
MB
Administrateur
 
Messages: 6892
Inscription: Samedi 28 Mai 2005, 13:23
Localisation: Créteil
Statut actuel: Actif et salarié | Enseignant

Messagepar Bruno » Mardi 25 Octobre 2005, 16:52

Il se trouve que je ne connais pas ce "théorème d'inconsistance".

Le schéma que je connais est celui-ci : pour tout couple d'énoncés $(A,B)$, l'énoncé $A \Longrightarrow (\neg A \Longrightarrow B)$ est un axiome du calcul propositionnel.

Cet axiome permet évidemment de montrer que si une théorie formelle est inconsistante (i.e. contradictoire), elle permet de démontrer n'importe quel énoncé. Comme une théorie est dite contradictoire si elle permet de démontrer un énoncé et sa négation, on a bouclé la situation, une théorie formelle qui vérifie ce théorème d'inconsistance est une théorie contradictoire et le travail est terminé.

Maintenant, il y a des logiques qui admettent la possibilité de la contradiction, mais elles n'ont, à ma connaissance, pas fleuri sur le terreau mathématique.

Je vais trop vite pour répondre...

Le terme "unconsistent" est le terme anglo-saxon pour "contradictoire". Nous avons francisé l'expression "unconsistent theory" qui signifie donc "théorie non contradictoire" en "théorie inconsistante "ou "théorie non consistante" modifiant ainsi le sens courant que pouvait avoir cette expression.

Pour ce qui est d'un raisonnement "plus ou moins" par l'absurde, il y a le résultat suivant, dans un modèle quelconque, un énoncé quelconque est soit vrai, soit faux.
C'est le principe du tiers exclu qui règne en mathématique non intuitioniste.
Bruno
Bruno
Kilo-utilisateur
 
Messages: 116
Inscription: Vendredi 19 Août 2005, 18:09
Localisation: Clermont-Ferrand

Messagepar MB » Mardi 25 Octobre 2005, 20:41

Bruno a écrit:Le terme "unconsistent" est le terme anglo-saxon pour "contradictoire". Nous avons francisé l'expression "unconsistent theory" qui signifie donc "théorie non contradictoire" en "théorie inconsistante "ou "théorie non consistante" modifiant ainsi le sens courant que pouvait avoir cette expression..


Ok, merci pour cette précision.

Bruno a écrit:Pour ce qui est d'un raisonnement "plus ou moins" par l'absurde, il y a le résultat suivant, dans un modèle quelconque, un énoncé quelconque est soit vrai, soit faux.
C'est le principe du tiers exclu qui règne en mathématique non intuitioniste.


Dans un modèle quelconque ? Même si le modèle est contradictoire ?
MB (Pas d'aide en Message Privé)
Merci d'utiliser $\LaTeX$ (voir ici) et d'éviter le style SMS pour la lisibilité des messages.
MB
Administrateur
 
Messages: 6892
Inscription: Samedi 28 Mai 2005, 13:23
Localisation: Créteil
Statut actuel: Actif et salarié | Enseignant

Messagepar MB » Mardi 25 Octobre 2005, 21:05

Bruno a écrit:Il se trouve que je ne connais pas ce "théorème d'inconsistance".


D'ailleurs, il existe ce théorème ?
J'ai quand même des doutes sur mes sources (internet uniquement).
MB (Pas d'aide en Message Privé)
Merci d'utiliser $\LaTeX$ (voir ici) et d'éviter le style SMS pour la lisibilité des messages.
MB
Administrateur
 
Messages: 6892
Inscription: Samedi 28 Mai 2005, 13:23
Localisation: Créteil
Statut actuel: Actif et salarié | Enseignant

Messagepar Bruno » Mercredi 26 Octobre 2005, 07:32

Bonjour MB.

Un modèle, par construction, n'est jamais contradictoire. On savait avant les travaux de Gödel que si une théorie avait un modèle, cette théorie était non contradictoire; le théorème de complétude donne la réciproque.
Bruno
Bruno
Kilo-utilisateur
 
Messages: 116
Inscription: Vendredi 19 Août 2005, 18:09
Localisation: Clermont-Ferrand

Messagepar Bruno » Mercredi 26 Octobre 2005, 14:06

Voici une brève définition de la notion de réalisation d'un langage et de modèle d'une théorie.
Fichiers joints
Models.pdf
(107.65 Kio) Téléchargé 185 fois
Bruno
Bruno
Kilo-utilisateur
 
Messages: 116
Inscription: Vendredi 19 Août 2005, 18:09
Localisation: Clermont-Ferrand

Messagepar MB » Jeudi 27 Octobre 2005, 15:19

Bon alors, j'ai lu le document (qui est un peu trop technique pour moi) et j'ai également étudié cet article de Wikipédia (qui est bien plus abordable). Je comprend maintenant mieux ce qu'est un modèle.

Un modèle est défini lorsque toutes les vérités virtuelles de base sont définies. Au point de vue technique, les vérités virtuelles de base sont définies par un ensemble de formules atomiques. Une formule est atomique lorsqu’elle ne contient pas d’opérateurs logiques (négation, conjonction, existentiation, ...)


Une formule atomique est considérée comme vraie si elle est dans l’ensemble choisi de toutes les formules atomiques vraies, sinon elle est fausse. Il s’agit simplement de vérités conventionnelles. Tarski a énoncé cette définition de la vérité avec l’exemple suivant. La phrase "la neige est blanche" est vraie si et seulement si la neige est blanche.


Quand l’ensemble de toutes les vérités atomiques et l’ensemble de tous les objets de la théorie (son univers d’objets) sont définis alors la vérité ou la fausseté de toutes les formules bien composées (avec la grammaire de la logique du premier ordre) sont également définies.


Une théorie est définie par un système, fini ou infini dénombrable, d’axiomes.


Alors, il existe une différence entre axiomes et formules atomiques vraies ?
Cela suffit à définir ce que l'on appelle une théorie ?

La vérité des formules atomiques est définie quand on a une interprétation de la théorie. Une interprétation est définie par les éléments suivants.

* Un ensemble U, l’univers de la théorie. Le quantificateur, pour tout x, est interprété comme, pour tout x dans U.
* A chaque nom d’objet (constante) mentionné dans les axiomes est associé un élément de U.
* A chaque prédicat unaire (à une place) fondamental mentionné dans les axiomes est associé une partie de U, l’extension de ce prédicat.
* A chaque prédicat binaire fondamental mentionné dans les axiomes est associé une partie du produit cartésien de U et U, c’est l’ensemble de tous les couples pour lesquels le prédicat est vrai.
* De même pour les prédicats ternaires, ou d’arité supérieure.
* A chaque opérateur unaire mentionné dans les axiomes est associé une fonction de U dans U.
* A chaque opérateur binaire mentionné dans les axiomes est associé une fonction de U X U dans U.
* De même pour les opérateurs d’arité supérieure.

L’ensemble U, ou l’interprétation dont il fait partie, est un modèle d’une théorie lorsque tous les axiomes sont vrais relativement à cette interprétation.

L'usage du mot, modèle, est parfois un peu confus. Tantôt il désigne l'ensemble U, tantôt l'ensemble des formules atomiques vraies, tantôt l'interprétation. Souvent, quand on dit un modèle d'une théorie, on suppose automatiquement qu'elle y est vraie. Mais on dit aussi qu'une théorie est fausse dans un modèle.


Voila, ce que j'ai retenu pour l'instant. :?
MB (Pas d'aide en Message Privé)
Merci d'utiliser $\LaTeX$ (voir ici) et d'éviter le style SMS pour la lisibilité des messages.
MB
Administrateur
 
Messages: 6892
Inscription: Samedi 28 Mai 2005, 13:23
Localisation: Créteil
Statut actuel: Actif et salarié | Enseignant

Messagepar Bruno » Jeudi 27 Octobre 2005, 16:13

"Vérités virtuelles de base" ? C'est poétique... J'arrête là mes commentaires et je réponds à ta question.

Une formule atomique c'est une formule ne contenant qu'un unique symbole relationnel primitif ou l'égalité. Prenons un langage L qui permette de faire de l'arithmétique : deux symboles relationnels binaires $\leq,\ s$(pour successeur), c'est un langage égalitaire donc il y a $=$ (que l'on peut rajouter dans les symboles relationnels avec la pelleté de schémas associés, c'est pour cette raison qu'on la traite à part dans les langages dits égalitaires) ; deux symboles de constante $0$ et $1$. Enfin un ensemble infini dénombrable de variables individuelles désigné par $V = \{x_n \mid n \in \mathbb N\}$.

Quelles sont les formules atomiques ? Il y en a de deux types, celles qui font intervenir le successeur : $s(x_1,x_2)$ ou $x_1 \leq x_2$ et celles qui font intervenir l'égalité $x_3 = 0$, par exemple. Ce sont les seules. Ajoutons que nous avons déjà des énoncés atomiques : $0 \leq 1$, $1 \leq 0$, $s(0,1)$..., bien entendu, on ne préjuge pas de leur validité (ou de leur vérité).

Fabriquer une L-structure c'est donc se donner un ensemble $E$ muni d'une partie $\overline s \subset E^2$, d'une autre pour interpréter $\leq$ ; l'égalité sera interprété par l'égalité des éléments (structure égalitaire) ou par le graphe d'une relation d'équivalence (structure non égalitaire, mais il faut assurer quelques compatibilités).

Les énoncés ce sont des formules dont toutes les variables sont quantifiée.

Exemple, toujours dans mon langage : $\exists\,y \quad s(x,y)$ possède une variable libre, $x$ et un variable quantifié (on dit liée, mais peu importe) ce n'est pas un énoncé. Par contre $\forall\,x\ \exists\,y \quad \Big(s(x,y) \wedge \forall\,z \quad \big(s(x,z) \Longrightarrow z = y\big)\Big)$ est un énoncé, ses trois variables sont quantifiées. Au passage, cet énoncé n'est pas atomique, il est donc complexe (présence du connecteur $\wedge$).

Une théorie c'est un ensemble d'énoncés. La première critique que je ferais à cet article de Wikipédia, c'est de patauger dans une notion de vérité qui porte sur deux niveaux : d'une part une intuition "les vérités virtuelles de base" et la confusion avec la "validité d'un énoncé" dans un modèle (définitions 7, 8 et 9 de mon papier).

Remarque. Il n'y a aucune raison de se limiter à un système dénombrable d'axiomes ! Si l'on souhaite ajouter un nombre quelconque de constantes individuelles, il n'y a aucune raison valable de s'en priver. J'ignore pourquoi l'auteur de Wikipédia a introduit cette restriction.
Bruno
Bruno
Kilo-utilisateur
 
Messages: 116
Inscription: Vendredi 19 Août 2005, 18:09
Localisation: Clermont-Ferrand

Messagepar omamar3131 » Lundi 19 Décembre 2005, 16:01

le theoreme d'inconsistance ne dit il pas plutot qu' il est impossible de prouver la coherence d'un systeme axiomatique qui contient l'arithmetique?
omamar3131
 

Messagepar cylixte » Vendredi 03 Mars 2006, 20:32

Bonjour à tous.

Dites, c'est quand même incroyable le nombre d'âneries qu'on peut lire dès lors qu'on parle de ce pauvre Gödel, vous ne trouvez pas ?
Je ne blâme personne, notez. Enfin, pas les gens de ce forum (Bruno, spécialement, qui a l'air de savoir de quoi il parle). Ceux qui sont à blâmer, ce sont ceux qui ont utilisé les résultats de Gödel à des fins plus ou moins fumeuses et qui n'ont réussi qu'à semer le doute dans l'esprit des gens.

Ceci étant dit, il y a tout un tas de corrections qu'il faut apporter par rapport à ce qui a été dit.

Tout d'abord, IL N'EXISTE PAS DE THEOREME D'INCONSISTANCE !!!
Les deux théorèmes que Gödel a démontré dans son mémoire de 1931 sont connus sous le nom de "Théorèmes d'incomplétude". Point barre.

Ensuite, Gödel n'a JAMAIS DEMONTRE QU'IL Y AVAIT DES PROPOSITIONS QUI POUVAIENT ETRE A LA FOIS VRAIES ET FAUSSES !!!
Ce contresens est d'autant plus frappant que Gödel était, au niveau philosophique, un réaliste (je nuance un peu: ce point n'est pas tout à fait éclairci, mais c'est en général en relation avec ce courant qu'on le présente). Autrement dit, il pensait que tout énoncé a une valeur de vérité et ce, indépendamment de notre capacité à le démontrer.
Ceci me permet de rebondir sur l'hypothèse du continu (qu'on note HC en général). Gödel a démontré en 1938 la consistance relative de l'hypothèse du continu avec le cadre axiomatique de la théorie des ensembles tels que formulés par Zermelo et Fraenkel (on l'appelle la théorie ZF). En 1963, Cohen a démontré la consistance relative de la négation de l'hypothèse du continu, toujours dans le cadre de la théorie ZF.
La théorie qui contient {les axiomes de ZF}+HC est consistante (Gödel) et la théorie qui contient {les axiomes de ZF}+non-HC est également consistante (Cohen).
L'hypothèse du continu est donc indécidable (ou, autrement dit, indépendante des axiomes) DANS ZF. Et c'est ce point qui est crucial. Personne, et encore moins Gödel, n'a jamais dit qu'elle était définitivement indécidable.
En bon philosophe réaliste, Gödel s'est acharné quasiment jusqu'à la fin de sa vie à essayer d'enrichir le système d'axiomes de ZF pour pouvoir décider de l'hypothèse du continu car, encore une fois, il était convaincu qu'elle devait avoir une valeur de vérité (en l'occurence, il était intimement persuadé qu'elle devait être fausse et ce, pour des raisons attachées à la pratique mathématique dont je suis sûr que Bruno vous parlera mieux que moi).

Bien, pour revenir aux deux théorèmes d'incomplétude, je vous en donne une interprétation qui me semble acceptable :

Si T est une théorie consistante suffisamment puissante alors:
1) Il existe une proposition exprimable dans le langage de T et indécidable dans T
2) La proposition "T est consistante" est indécidable dans T



Il convient également de bien comprendre les termes employés :

- Une THEORIE, au sens pertinent pour le théorème de Gödel, est un ensemble d’énoncés de base (les axiomes) desquels on peut dériver (selon des règles logiques bien déterminées) d’autres énoncés appelés théorèmes.

- Une théorie est dite CONSISTANTE (on dit aussi cohérente ou non-contradictoire, ces trois appellations sont équivalentes) si elle ne peut pas démontrer (par dérivation formelle à partir des axiomes et conformément aux règles d’inférence) à la fois une proposition et son contraire. Par extension, une théorie inconsistante peut démontrer n’importe quelle proposition exprimable dans son langage.

- La condition « suffisamment puissante » revient à ne considérer que des théories dans lesquelles on peut définir un prédicat exprimant le fait qu’un énoncé donné est un théorème de ces théories. Autrement dit, on doit pouvoir construire dans la théorie T un prédicat Th tel que : Th(n) si et seulement si n est le numéro de Gödel d’un théorème de T. L’arithmétique de Péano, définie par l’ensemble des entiers naturels, plus les opérations d’addition et de multiplication, vérifie notamment cette condition (en toute rigueur, la théorie la plus "petite" qui satisfait les conditions d'application du théorème est l'arithmétique de Robinson, mais on ne va pas chipoter). En conséquence, les théories qui contiennent l’arithmétique de Péano (i.e. qui peuvent au moins démontrer tous les théorèmes de l’arithmétique de Péano) la satisfont aussi. On dit que ces théories sont des EXTENSIONS de l’arithmétique. C’est une condition assez faible du point de vue mathématique (contenir l’arithmétique de Péano, ou théorie des nombres, est en général le minimum qu’on demande à une théorie).

- Une formule est dite INDECIDABLE dans une théorie si elle n’y est ni démontrable ni réfutable (i.e. sa négation n’est pas démontrable non plus).

- Enfin, une théorie est dite COMPLETE si toute formule vraie de son langage s’y démontre.


Désolé de cette liste assez longue et fastidueuse. :oops: Je serai heureux d'apporter des précisions à qui veut, mais il me semble que les résultats de Gödel ont fait l'objet de trop d'interprétations abusives dues à une méconnaissance de leurs conditions d'application.


Je voulais finir mon laïus en explicitant le raisonnement métamathématique (encore un terme qui a été employé à tort et à travers, mais passons) qui permet de voir que la proposition indécidable que Gödel a construite est vraie.
Dans une théorie consistante T, Gödel construit une proposition, notée G, qui dit, intuitivement, "G n'est pas démontrable". Dès lors, tout ce qu'on peut affirmer avec une certitude mathématique est :
Si T est consistante alors G
Cette implication, soit dit en passant, EST DEMONTRABLE DANS T.
La vérité de G repose sur l'assertion initiale que la théorie est consistante. Puisque la consistance d'une théorie consistante ne peut pas être démontré dans cette théorie (second théorème d'incomplétude), ce raisonnement n'est pas formalisable mais il n'en demeure pas moins rigoureusement correct.

J'espère avoir pu dissiper quelques brumes. :D
cylixte
Utilisateur
 
Messages: 2
Inscription: Vendredi 03 Mars 2006, 19:39

Messagepar rebouxo » Samedi 04 Mars 2006, 09:18

J'ai rapidement parcouru les différents messages sur Gödel.
Je ne suis pas spécialiste du sujet et je ne suis pas un vieux routier des forums, mais il me semble qu'il faut un moment préciser ce dont on parle. C'est du moins ce que le dernier message laisse entendre.
L'an dernier j'ai lu trois ouvrages d'épistémologie de Bachelard et celui précise que la science ne peut se fonder sur le sens commun.

Une bonne partie des premiers posts relèvent de ce problème : on reste dans le sens commun, ce qui pose de nombreux problèmes d'interprétation.

Une des caractéristiques de la science, selon Bachelard, est qu'elle est perpétuellement réctifiée. Il semble que c'est ce qui est fait dans les forums lorsque quelqu'un veut bien poser le problème correctement, sinon on en reste dans le sens commun. Et cela me semble, alors, très intéressant.

Cela n'apporte rien sur les théorèmes de Gödel (sauf que le dernier post me semble plus proche de ce que j'ai lu par ailleurs entre autre dans un dossier de Pour La Science sur la logique paru l'an dernier).

Je voulais dire ici mon enthousiasme pour Bachelard et pour son épistémologie. Bachelard qui est souvent cité, trop rarement lu et qui apporte tellement au débat en général et au débat scientifique en particulier.

Ah si ! une dernière chose : il y a un lien entre Gödel et Bachelard, ils ne partageaient pas du tout ni l'un ni l'autre les positions du cercle de Vienne.

En espérant que cela vous donne envie de lire Gaston Bachelard.

Note tous ce qui est en gras à un sens précis.
rebouxo
Modérateur
 
Messages: 6959
Inscription: Mercredi 15 Février 2006, 13:18
Localisation: le havre
Statut actuel: Actif et salarié | Enseignant

Messagepar rebouxo » Samedi 04 Mars 2006, 09:28

Et si le sujet historique vous intéresse :

Colloque inter IREM-INRP
16ème Colloque inter-IREM épistémologie et histoire des mathématiques
Clermont-Ferrand-19 et 20 mai 2006
« Histoire et enseignement des mathématiques :
rigueurs, erreurs, raisonnements »

programme, renseignements, inscriptions à l'adresse suivante :

http://www3.ac-clermont.fr/pedago/maths/pages/histoire/Sommaire.htm

Tant il est vrai que les problèmes de démonstrations ne datent pas de Gödel.

Je vous laisse ceci du à Evelyne Barbin, qui exprime bien mieux ce que je pense confusément et auquel les réflexions du forum sur Gödel me font penser.

Les questions de la rigueur et de la validation d’un raisonnement ont été des sujets de débats et de controverses entre mathématiciens. Les idées de rigueur, d’évidence et de démonstration ont changé au cours des époques : il y a une historicité de ces idées. De même la qualification d’erreur doit être prise dans un contexte historique. Aussi doit-on parler, au pluriel, de rigueurs, d’erreurs et de raisonnements, dans l’histoire. Ces constats suscitent de nombreuses questions sur la temporalité des apprentissages mathématiques. Qu’accepte-t-on comme rigoureux, comme évident, au collège, au lycée, à l’université ? Que décide-t-on de démontrer ? Quand et pourquoi ? Il y-a-t’il des niveaux de rigueur et d’abstraction au cours de la scolarité ? Lesquels ? Comment distinguer entre erreur et insuffisance d’un raisonnement, au collège, au lycée, à l’université ? Quelles explicitations de ces questionnements et quelles réponses les enseignants doivent-ils élaborer pour eux-mêmes ou p our leurs élèves ?
rebouxo
Modérateur
 
Messages: 6959
Inscription: Mercredi 15 Février 2006, 13:18
Localisation: le havre
Statut actuel: Actif et salarié | Enseignant

Messagepar cylixte » Samedi 04 Mars 2006, 16:29

Je suis tout à fait d'accord avec ce qu'a écrit Rebouxo. Et je partage son admiration pour le travail de Bachelard.

Les mésinterprétations qui ont été faites des théorèmes d'incomplétude sont tellement nombreuses que j'ai entendu dire que le fossoyeur du cimetière où Gödel est enterré se sert du cercueil du logicien autrichien comme ventilateur tellement le pauvre homme n'arrête pas de se retourner dans sa tombe. :wink:

Encore une fois, je ne vise pas les gens de ce forum mais certains philosophes qui considèrent que la rigueur est une entrave à la pensée dont la philosophie doit définitivement se débarasser. :evil:

Je suis moi-même un apprenti philosophe et je trouve scandaleux qu'on puisse se permettre d'interpréter les résultats mathématiques de Gödel sans même se donner la peine de comprendre son mémoire de 1931.
Gödel lui-même était connu pour son extrême rigueur qui confinait à l'obsession.

Il est extrêmement difficile de tirer une conclusion philosophique non ambiguë d'un résultat purement mathématique, qu'on se le dise.
25 ans et toutes ses dents
cylixte
Utilisateur
 
Messages: 2
Inscription: Vendredi 03 Mars 2006, 19:39

Précédente

Retourner vers Tribune des mathématiques

 


  • Articles en relation
    Réponses
    Vus
    Dernier message

Qui est en ligne

Utilisateurs parcourant ce forum: MSN [Bot] et 2 invités