Théorème de Shannon

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Théorème de Shannon

Messagepar nirosis » Vendredi 01 Décembre 2006, 23:42

J'ai cherché des démonstrations du théorème de Nyquist-Shannon sur le net, mais rien de très complet (le mieux est encore sur wikipedia US)
Souvent la démo est admise et moi j'essaie de la refaire.
Je coince avant d'arriver à la formule avec les sinus cardinaux

http://en.wikipedia.org/wiki/Nyquist-Sh ... ng_theorem

Peut-être que certains d'entre vous ont l'habitude de ce théoreme, si c'est le cas, je suis curieux de voir comment vous présentez la chose.
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Messagepar kojak » Samedi 02 Décembre 2006, 14:47

Bonjour,

Théorème : soit $f$ une fonction de $L^1(\R)$ dont la transformée de Fourier $F(f)$ est nulle hors de $[-\nu_0,\nu_0]$
1) $f$ est la limite dans $L^2(\R)$ de

$$\sum_{-p}^{p} f  ( \dfrac{n}{2\nu_0}) \dfrac{\sin \pi(2\nu_0t-n)}{\pi(2\nu_0t-n)}$$


$L^1(\R)$ est l'ensemble des fonctions sommables sur $\R$ dans lequel on vonvient de confondre 2 fonctions égales presques partout sur $\R$.
$L^2(\R)$ idem pour les fonctions dont le carré du module est sommable
Voici quelques indications :
On a $f(t)=\displaystyle \int_{-\nu_0}^{\nu_0}\text{exp}(2i\pi\nu t )F(f)(\nu)\text{d}\nu$ puisque $F(f)$ est nulle hors de $[-\nu_0,\nu_0]$ et $f$ continue.
Posons $g_t(\nu)=\text{exp}(2i\pi\nu t )$ pour $t$ fixé et $\nu$ dans $[-\nu_0,\nu_0]$ : $g \in L^2(-\nu_0,\nu_0)$ donc $g_t$ est la limite dans $L^2(-\nu_0,\nu_0)$ de $\sum_{-p}^{p} \alpha_n \text{exp}(2i\pi n \dfrac{\nu}{2\nu_0})$ (1) avec $\alpha_n$ coefficient de Fourier de $g_t$. Alors :

$$\alpha_n=\dfrac{1}{2\nu_0}\displaystyle \int_{-\nu_0}^{\nu_0} \text{exp}(2i\pi \nu t) \text{exp} (-\dfrac{2i \pi n \nu}{2\nu_0} ) \text{d}\nu$$

.

Et là tu obtiens ton sinus cardinal pour $\alpha _n$.
Ensuite tu reportes dans l'expression (1).
Ensuite il faut pouvoir intervertir l'intégration et la limite...
Et l'intégrale qui te reste à calculer est égale à $f(\dfrac{n}{2\nu_0})$ bien sûr à condition de démontrer que la convergence est dans $L^2(\R)$ :roll:

Voilà quelques souvenirs de ma jeunesse du traitement du signal :D
kojak
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Messagepar nirosis » Samedi 02 Décembre 2006, 18:14

Un grand merci pour les indications. Il y avait quelques étapes qui me manquaient !
Je vais pouvoir approfondir le sujet !
Thanks !
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Messagepar kojak » Lundi 04 Décembre 2006, 08:14

Pour info, un bon bouquin sur le signal :
Eléments de Mathématiques du signal de Hervé Reinhard chez DUNOD, collection Sciences Sup...
Bonne lecture :D
kojak
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