Théorème de Gödel pour les nuls

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Théorème de Gödel pour les nuls

Messagepar fraggy » Lundi 12 Février 2007, 11:48

Amis mathématiciens, bonjour !

Je suis philosophe, et je travaille sur la philosophie de Hegel. Celle-ci, dans la ligne du néoplatonisme, se pose en particulier le problème des repports de la limite avec l'ensemble qu'elle limite; C'est ainsi que j'en suis venu à m'intéresser au théorème dit d'incomplétude, de Gödel. Malheureusement, je ne parviens pas à comprendre les (deux ?) énoncés de ce théorème, que je me contente alors de comprendre à travers un penseur des religions, Régis Debray. Celui-ci décrit la loi d'incomplétude comme ceci : "Un tout ne peut se compléter lui-même". Autrement dit, la limite est toujours extérieure à ce qu'elle limite.

Voici mes questions :
1) Cet énoncé compréhensible par les non-mathématiciens est-il recevable ? Et en quoi peut-il bien différer des énoncés authentiques ?
2) Un mathématicien compréhensif aura-t-il la patience (d'essayer de) de m'expliquer les énoncés authentiques du théorème de Gödel ?

Avec mes remerciements...
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Messagepar Arnaud » Lundi 12 Février 2007, 12:03

Je n'ai pas le niveau pour répondre, mais je peux afficher un lien, qui j'espère, vulgarise suffisament ces théorèmes :

http://fr.wikipedia.org/wiki/Th%C3%A9or ... G%C3%B6del
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Messagepar Tryphon » Lundi 12 Février 2007, 12:13

Je pense que tu auras pas mal de réponses de tout genre sur le forum de les-mathematiques.net. Je ne nie pas la qualité des intervenants de ce forum, mais nous sommes plus un forum d'entraide que de débat.

Ton post là-bas va certainement générer un bon milliard de réponses parmi lesquels quelques millions d'insultes. Tu auras aussi beaucoup d'interventions de pinpins cosmiques. Mais si tu tries un peu tout ça, il doit y avoir pas mal de choses à retirer.

Ca me paraît sage de savoir exactement ce que ce théorème veut dire avant d'en donner une version vulgarisée. Beaucoup de conneries ont été écrites à son sujet.

Accessoirement, le phrase de Debray me paraît vide de sens...
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Messagepar fraggy » Lundi 12 Février 2007, 12:30

Pour Arnaud : merci, mais en fait, c'est précisément ce contenu que je cherche à comprendre !...
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Messagepar fraggy » Lundi 12 Février 2007, 12:31

Réponse à Tryphon,

merci du conseil, mais pourquoi des insultes ? Et pourquoi quelques Billions ? !!!
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Messagepar Tryphon » Lundi 12 Février 2007, 13:15

Parce qu'il y a des sujets là-bas comme théorème de Fermat, frères Bogdanov, pâte à modeler, et Gödel qui génèrent d'étranges réactions. Fais le test pour voir :D
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Messagepar fraggy » Lundi 12 Février 2007, 13:26

J'ai déposé plusieurs messages dans plusieurs forum, pour le moment, j'ai eu une réponse très coopérative, amis ce n'est qu'un début, je te tiens au courant si ça dérape !
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Messagepar jobherzt » Lundi 12 Février 2007, 14:10

tu as une page assez bien faite et a priori accessible aux non-mathématiciens ici : http://www.yann-ollivier.org/goedel/goedel.html qui a aussi l'avantage de demonter quelques contre verités sur ce theoreme.

en soi l'énoncé n'est pas si compliqué que ca. je suppose que tu sais ce qu'est un axiome. toute théorie formelle est basée sur un certain nombre d'axiome logique exprimé grace a un langage des suites de symboles) qui est defini de facon tres rigoureuse. ce qui est un peu etrange c'est qu'on ne s'interresse pas ici au sens de ces symboles, on les pose simplement, et on definit des regles de reecriture qui permettent de transformer une suite de symbole en une autre et ainsi de proche en proche de demontrer des choses. le langage, les axiomes et les regles forment une théorie, et quand on donne du sens aux symboles cela forme un modele. note que je parle bien de demonstration, et pas de veracité. la logique s'interresse a la demonstration uniquement, et c'est quand tu donne un sens au symbole que tu identifie la notion de vrai et celle de demontrable.

si tu le sohaite, je te donnerai un exemple assez simple issu de la theorie des groupes qui illustre bien ce concept. dis toi par exemple que toutes la géometrie peut etre traité de maniere purement formelle, et a la limite peu importe que les objets qu'on manipule soient reellement des droites au sens "un tres long trait sur un papier". du point de vue logique cette "concretisation" est inutile.

ensuite, en particulier, il existe une theorie logique qui decrit l'arithmetique, cad l"etudes des nombres entiers. ce modele ne suffit pas a decrire toutes les mathématiques, donc on lui rajoute des axiomes, et donc on cree un modele "plus grand" qui inclut l'arithmetique.

le theoreme de gödel dit en substance : toute theorie logique qui inclut l'arithmetique peut etre de 2 type :
- soit elle est contradictoire cad qu'on peut demontrer une chose et son contraire.
- soit elle est incomplete, cad qu'on peut exprimer dans son langage une proposition logique qu'on ne pourra pas demontrer, et dont on ne pourra pas demontrer le contraire.

en consequence, tu peux choisir indifferemment d'ajouter cette proposition ou son contraire comme nouvel axiome, et construire 2 theorie incompatible MAIS parfaitement juste et coherente toutes les 2. Il y a donc forcement un choix du mathematicien sur ce qu'il va considerer comme etant vrai ou faux. il arrive que le choix soit relativement evident, ou simplement variable suivant le contexte, mais il y a des propositions qu'on connait, dont on sait qu'elle sont indemontrable, et dont on ne sait fichtrement pas si on doit les prendre comme vraie ou fausse.. l'objectif de certain chercheur est de trouver des axiomes "evidemment vrais" qui permettrait d'accepter ou de rejeter ces propositions derangeante.
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Messagepar fraggy » Lundi 12 Février 2007, 15:08

Merci pour ces précieux éclaircissements, et des efforts pour être simple ! Et quant à ma façon initiale de comprendre l'incomplétiude (mon premier message), est-il viable, ou bien n'a-t-il rien à voir avec le théorème de Gödel ? (Autrement dit, l'affirmation qu'une totalité, un ensemble donné, ne puisse pas se compléter lui-même, est-il une expression, malgré tout, "potable" du théorème de Gödel ?
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Messagepar Arnaud » Lundi 12 Février 2007, 15:23

jobherzt a écrit:Il y a donc forcement un choix du mathematicien sur ce qu'il va considerer comme etant vrai ou faux. il arrive que le choix soit relativement evident, ou simplement variable suivant le contexte, mais il y a des propositions qu'on connait, dont on sait qu'elle sont indemontrable, et dont on ne sait fichtrement pas si on doit les prendre comme vraie ou fausse...


C'est intéressant.
Tu aurais un exemple ?
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Messagepar jobherzt » Lundi 12 Février 2007, 15:27

soyons philosophes :-)

la premiere chose importante, c'est que le theoreme de Gödel est mathématique. il n'enonce a priori aucune verité valable en dehors de ce cadre.

apres, on peut remarquer que :

- c'est un theoreme qui n'est pas si srprenant, c'est un truc qu'on remarque "dans la vie de tous les jours" que les elements d'une globalité ne suffisent pas a la decrire, qu'il faut en sortir et prendre du recul pour l'observer. autrement dit, reduire une globalité, une totalité à un objet pour pouvoir l'etudier necessite de se placer dans un cadre plus large.

- le theoreme de gödel, en ce qu'il est un theoreme de la logique, nous donne surtout des outils pour comprendre les notions de raisonnement et d'intelligence. L'homme est il une machine logique, ou est ce que "l'esprit" transcende cette accumulation d'axiome, est ce que c'est une sorte de truc "meta-gödelien", une machine logique capable de faire evoluer son mecanisme logique ? on peut mettre tout cela en rapport avec les machines de turing qui sont le modele theorique de l'ordinateur.

Apres, quand tu dis :
"Un tout ne peux se compléter lui-même". Autrement dit, la limite est toujours extérieure à ce qu'elle limite.


ca implique de savoir ce qu'est un tout, ce que c'est que de completer un tout, et a quoi fait reference la limite dans cette phrase ? je peux te donner des exemples mathématiques ou la limite est contenue dans ce qu'elle limite ( un enxemble fermé, ou une suite stationnaire :-) ) !
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Messagepar fraggy » Lundi 12 Février 2007, 15:34

Merci de répondre à ma question initiale.

Quelques petites éclaircissements la concernant : prenons un exemple, soit l'ensemble de toutes les choses qui sont, quelles qu'elles soient, concrètes, abstraites, matérielles, spirituellles, fugaces ou non, etc, toutes choses absolument parlant.
Ma question est alors celle-ci : la pensée de celui qui pense actuellment cet ensemble peut-elle appartenir à l'ensemble total qu'il pense. Voila ma torture !...
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Messagepar jobherzt » Lundi 12 Février 2007, 15:36

>arnaud : on va dire que oui, meme si c'est tres au dela de mes connaissances... je suppose que tu as entendu parler de la celebre hypothese du continu... on n'a a priori aucune raison de dire qu'elle est vrai ou fausse parce qu'elle parle d'un objet tres abstrait, d'un objet purement mathematique. et bien des logicien travaillent actuellement sur ce qu'on appelle des axiomes dits "de grands cardinaux" qu'on peut raisonnablement accepter comme vrai, et on sait qu'une des consquences de ces axiomes pourrait etre la demonstration de la fausseté l'hypothese du continu. il reste encore une conjecture (due a Woodin, je crois) qu'il faut lever pour que ca soit bon. Ce qui temps à montrer que l'hypoyhese du continu est "fondamentalement" fausse.

plus que ca, en fait si tout se passe bien, la theorie des ensembles completée par les ensemble de grands cardnaux devrait etre assez stable, cad que ses propositions indemontrables ne devraient pas etre des trucs importants pour nous, que toutes les propositions "importantes" devraient etre demontrable ou refutable dans ce systeme.

tu peux lire ca si ca t'interresse, c'est joliment ecrit :
http://www.math.unicaen.fr/~dehornoy/Surveys/Dgy.pdf
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Messagepar jobherzt » Lundi 12 Février 2007, 15:49

un mathematicien sournois te repondrait qu'un tel ensemble n'existe pas et ne peut pas etre defini, c'est le celebre "paradoxe du menteur", qu'on peut aussi voir sous cette forme

cette phrase est fausse.


dans l'absolu, le theoreme de gödel tendrait a dire a peu pres la meme chose. MAIS, justement, on peut legitimement penser que l'esprit transcende la logqieu, qu'il s'agit d'une machine de Turing illimité et reflexive cad essentiellement capable de se concevoir et de se comprendre elle meme. on peut donc aussi penser qu'une pensée est capable de penser un univers qui la contient... :mrgreen: mais cela a plutot tendance a s'opposer au theoreme de Gôdel, ou plutot a affirmer que l'esprit echappe a cette regle.
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Messagepar rebouxo » Lundi 12 Février 2007, 17:52

Et pour compléter Jobherzt, il me semble qu'il a précisé que le théorème de Gödel est un théorème de logique (formel) et le faire sortir de ce cadre est risqué.

As-tu lu :
E. Nagel, J.R Newman, K. Gödel et J-Y Girard, Le théorème de Gödel, Points seuil.

Outre le texte de Gödel (assez abscons a priori) il y a des textes de présentations.

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Messagepar Arnaud » Lundi 12 Février 2007, 18:29

Merci jobherzt pour toutes tes explications ;)
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Messagepar nirosis » Lundi 12 Février 2007, 20:57

Cela avait été abordé ici aussi sur mathematex (suivre le lien)
As tu la possiblité aussi de revenir aux textes d'origines ? En tant que philosophe, cela devrait t'intéresser.
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Messagepar François D. » Mercredi 14 Février 2007, 08:32

Je ne me risquerais pas à discuter du théorème de Gödel lui-même, mais juste de conseiller un livre à son sujet, en complément des références citées par ailleurs :

« Gödel : une révolution en mathématiques » d'André Delessert, Presses Polytechniques et Universitaires Romandes (ISBN 2-88074-449-0)

Ce qui m'a particulièrement plu dans cet ouvrage, c'est que ses explications sur le théorème de Gödel lui-même sont précédées d'un exposé très complet et je pense accessible sur l'évolution de la notion de nombre à travers l'histoire.
François D.
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MEA CULPA !

Messagepar fraggy » Jeudi 15 Février 2007, 10:26

Bonjour à tous !

je fais un petit point quant au problème, et aux changements que cette discussion me suggère. Tout d'abord, je le confirme, c'est en toute naïveté que j'ai posé LA question concernant la compréhension de Sieur Debray Régis du Théorème de Gödel. Ce qu'il faut savoir, c'est que celle-ci ne provenait pas de ses écrits de sociologie ("médiologie", que d'après la colère de J. Bouveresse, on pourrait ou devrait appeler "médiocrologie"), mais d'un petit livre ("Pour en finir avec les religions"), et que cette allusion au théorème n'était, dans ce livre, qu'une toute petite note de page, mais qui a, effectivement, retenu mon attention. Bref, je ne connaissais pas vraiment le passé polémique de Debray, et quand J. Bouveresse critique l'application du théorème à des faits de sociologie, il est vrai, il y a de quoi se mettre en colère, tant le détournement semble grand... Cela dit, mon propos est différent, le rapprochement que je suggérais ne s'appliquait pas à un fait de science humaine, mais plutôt à un problème logique (voir plus haut), où l'on est déjà plus proche des mathématiques. Ma question ne touchait donc pas du tout l'affaire Debray, même si je m'appuyais sur sa "compréhension" (je devrais dire, d'après les spécialistes, sa mécompréhension) du théorème de Gödel, elle touche en réalité à un questionnement phénoménologique. Par rapport à la phénoménologie, je dois dire que ces divers aller-retour sur ce forum m'ont rendu un inestimable service, d'ailleurs, j'avais déposé la même question sur six forums de math, et celui-ci est le seul où une discussion s'est engagée. J'y ai trouvé beaucoup de références et de réponses, et je vous en remercie. J'ai pu, en particulier lire la conférence de J. Bouveresse, "Qu'appellent-ils "penser" ?", qui est parfaitement claire, ainsi que l'article de David Morisi, "Le fantasme de l'incomplétude". En ce qui concerne le théorème de Gödel lui-même, je n'ai toujours pas compris son sens, mais cette remarque n'est pas si négative qu'elle n'en a l'air, en effet, grâce à nos discussions, j'ai bien compris, ou tout au moins, j'ai pu admettre que les mathématiques sont un sport très particulier et tout à fait précis, que je "traduirais" (très mal) par l'activité consistant, en gros, à créer divers mondes, puis, à "jouer" avec les règles de ces mondes, afin d'observer ce qu'il s'y passe. C'est sans doute un peu cavalier, vous me le pardonnerez. En tout cas, l'important est ceci : cette démarche n'est pas du tout celle de la phénoménologie qui est la mienne. Effectivement, il est extrêmement dangereux de croiser les mathématiques avec une discipline dont les attendus et les méthodes ne se recoupent pas. Dans ce cas, la naïveté, dont je suis maintenant débarrassé, pour une grande part, est particulièrement néfaste ! La phénoménologie, en ce qui concerne sa propre démarche, est même, je crois, aux antipodes de celle des mathématiques. Elle ne consiste pas à créer des limites et des règles de toutes pièces, mais à observer le plus strictement possible le réel déjà existant, tel qu'il se présente à nous, le phénomène, c'est-à-dire la forme normalement invisible ou non pertinente des évènements qui constituent la pensée au sens large. L'activité la plus importante de la phénoménologie, c'est en quelque sorte sa passivité immédiate face à ce qu'elle observe. Cette démarche n'est rien d'autre que celle de la science objective, mais appliquée à l'outil de la connaissance qui est l'esprit humain. Je ne crois donc pas que ce soit là un souci pour les mathématiques, qui utilisent cet outil et manient des représentations. En conclusion, faute de comprendre un élément d'un savoir qui n'est pas le mien et auquel je n'ai pas accès, je m'abstiendrais, dorénavant de toute allusion directe au théorème de Gödel, ou tout au moins, sans le replacer dans ce contexte, où cette allusion ne serait qu'une simple et vague analogie. Je peux et je dois me passer du théorème de Gödel. Quel dommage !
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Re: MEA CULPA !

Messagepar Tryphon » Jeudi 15 Février 2007, 13:05

fraggy a écrit:Par rapport à la phénoménologie, je dois dire que ces divers aller-retour sur ce forum m'ont rendu un inestimable service, d'ailleurs, j'avais déposé la même question sur six forums de math, et celui-ci est le seul où une discussion s'est engagée.


Ravi de cet honneur. Par contre, c'est bizarre, mais tu as écrit exactement la même chose sur les-mathematiques.net :D
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