Théorème de Ceva

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Théorème de Ceva

Messagepar vaness2107 » Lundi 05 Mai 2008, 09:53

bonjour à tous,

je suis en licence de math et j'ai un exercice à faire où on me demande de démontrer le théorème de Ceva, chose que j'ai réussi à faire grace aux barycentres, par contre on me demande ensuite de l'appliquer pour montrer que les médianes, les hauteurs et les bissectrices intérieures d'un triangle sont concourantes .. pour les médianes y'a pas de soucis puisque on a directement des égalités sur les longueurs .. pour les hauteurs j'ai essayé d'obtenir des relations trigonométriques avec les tangentes mais ça aboutit pas et pour les bissectrices, j'ai vraiment aucune idée donc si quelqu'un a une idée, n'hésitez pas !

merci d'avance
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Re: Théorème de Ceva

Messagepar MB » Lundi 05 Mai 2008, 10:50

Je déplace ce sujet dans la section Mathématiques. :wink:

Sinon, pour les bissectrices, tu utilises quelle définition ?
En tout cas, tu peux remarquer que la bissectrice est l'ensemble des points équidistants aux deux côtés de l'angle. Ca permet de conclure facilement.
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Re: Théorème de Ceva

Messagepar OG » Lundi 05 Mai 2008, 15:33

Bonjour

Pour Ceva et les hauteurs, ça se fait. Il faut bien s'y prendre pour aboutir : mesures des côtés du triangle et angles servent.
Il y a juste le cas $H$ intérieur ou extérieur au triangle (lié aux angles obtus/aigus dans ce triangle) qui peut gêner.

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Re: Théorème de Ceva

Messagepar vaness2107 » Mardi 06 Mai 2008, 18:16

j'ai réussi à trouver pour les médianes, c'est direct et les bissectrices .. enfin pour les bissectrices, j'ai retrouvé dans un de mes cahiers de collège que si ABC est un triangle quelconque, (AA') la bissectrice de l'angle A alors A'B/A'C = AB/AC .. je me rappelais plus du tout de ça et avec cette propriété le résultat est quasi immédiat ..est-ce que ça vous parle cette propriété ? je veux pas écrire des bêtises quand même

ensuite oui pour les hauteurs il y a deux cas, soit les trois hauteurs sont à l'intérieurs, soit une est à l'intérieur et deux à l'extérieur..

pour le premier cas, on a des rapport avec les tangentes
en appelant a l'angle BAC, b l'angle ABC et c l'angle ACB, on a
A'B = AA'/tan b et A'C =AA'/tan c ce qui donne A'B/A'C = tan c/tan b
mais notre prof nous a dit qu'on doit avoir un signe - à chaque rapport pour que le produit des trois fasse -1 mais je vois pas où il y aurait un signe - dans les relations que j'ai écrites ... je sais pas, les relations trigo avec les longueurs algébriques ça me bloque

et pour le deuxième cas, je sais pas du tout comment faire, car on a plus les angles a,b et c

merci d'avance à vous
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Re: Théorème de Ceva

Messagepar OG » Mardi 06 Mai 2008, 19:41

Les relations sur les longueurs/angles obtenues par les formules de trigo concernent effectivement des quantités: des longueurs positives.
En fonction de la position des points elles s'interprêtent en mesure algébrique, c'est ce qu'il faut faire.

Cordialement
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Re: Théorème de Ceva

Messagepar vaness2107 » Mardi 06 Mai 2008, 20:03

oui je sais je comrpends la théorie mais sur le dessin ça me bloque

si on prend le premier rapport A'B/A'C, d'aprés le prof ça doit donner -tan c/tan b
et moi j'ai A'B = AA'/tan b et A'C = AA'/ tan c et donc j'ai pas de signe - ..il en faut un à l'une des deux égalités mais j'ai vraiment du mal à voir pourquoi
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