Théorème de Bohr-Mollerup

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Théorème de Bohr-Mollerup

Messagepar oceane972 » Lundi 01 Juin 2009, 04:20

Bonjour,
Je n'arrive pas à démontrer le théorème de Bohr-Mollerup dont l'intitulé est le suivant
la fonction gamma, définie pour x > 0 par

$\Gamma \left(x \right)=\int_{0}^{+\infty }\exp\left(  -t\right) \times {t}^{x-1}dt$

est la seule fonction f définie pour x > 0 qui vérifie simultanément les trois propriétés suivantes :

* $f(1) = 1$,
* $ f(x+1)=xf(x)\ \mbox{pour}\ x>0 $ ,
* log(f) est une fonction convexe.

Est ce quelqu'un pourrait me donner la démonstration ?
Merci d'avance
Dernière édition par MB le Lundi 01 Juin 2009, 15:17, édité 2 fois.
Raison: pour l'infini, c'est \infty
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Re: Théorème de Bohr-Mollerup

Messagepar EricK » Lundi 01 Juin 2009, 08:13

Je te donne ce qui est fait dans Makarov et al., Problèmes choisis d'analyse réelle

Soit $f$ une solution logarithmiquement convexe sur $\mathbb{R}_{+}^{*}$ de l'équation fonctionnelle $f(x+1)=xf(x)$ pour $x>0$. Prouver que $f(x)=f(1)\Gamma(x)$ pour tout $x>0$.

La fonction $M=\ln\frac{f}{\Gamma}$ est continue sur $\mathbb{R}_{+}^{*}$ et $M(x+1)=M(x)$ pour tout $x>0$. Si elle n'est pas constante, elle n'est alors pas convexe et sa différence seconde
$\begin{equation*}         \Delta_{h}^{2}M(t)=M(t+h)-2M(t)+M(t-h)       \end{equation*}$
est strictement négative pour certains $t,h>0$: $\Delta_{h}^{2}M(t)=\Delta<0$. On a alors, pour tout $n\in\mathbb{N}^{*}$,
$\begin{equation*}         0\leq\Delta_{h}^{2}\left(\ln f(t+n)\right)         =\Delta_{h}^{2}M(t+n)+\Delta_{h}^{2}\left(\ln\Gamma(t+n)\right)         =\Delta+\Delta_{h}^{2}\left(\ln\Gamma(t+n)\right).       \end{equation*}$
On a $\lim\limits_{x\to+\infty}\Delta_{h}^{2}\left(\ln\Gamma(x)\right)=0$ pour tout $h$. On obtient donc, par passage à la limite dans la dernière égalité,
$\begin{equation*}         0\leq\lim_{n\to+\infty}\Delta_{h}^{2}\left(\ln f(t+n)\right)=\Delta<0,       \end{equation*}$
ce qui est impossible.

On utilise deux exercices intermédiaires.

Prouver que la fonction $f\in\mathscr{C}_{\left]a,b\right[}$ est convexe si et seulement si
$\begin{equation*}     L_{f}(x)=\varlimsup\limits_{h\to0}\dfrac{f(x+h)-2f(x)+f(x-h)}{h^{2}}\geq0 \end{equation*}$
pour tout $x\in\left]a\,,b\right[$. En particulier, si $L_{f}(x)=0$ pour tout $x\in\left]a\,,b\right[$, $f$ est alors une fonction affine; si $f$ est deux fois dérivable sur $\left]a\,,b\right[$, elle est convexe si et seulement si $f''\geq0$ sur $\left]a\,,b\right[$.


Prouver que $\Gamma(x+c)\underset{x\to+\infty}{\sim}x^{c}\Gamma(x)$ pour tout $c\in\mathbb{R}$.
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Re: Théorème de Bohr-Mollerup

Messagepar NP » Lundi 01 Juin 2009, 12:58

Bonjour,
On en trouve aussi une preuve dans Chambert-Loir, Fermigier : "Agrégation de mathématiques - analyse 2".
On y prouve successivement que :
- la fonction $\Gamma$ vérifie les 3 hypothèses annoncées ;
- si $f : \R_+^* \rightarrow \R$ est convexe et vérifie $\forall x > 0, f(x+1)=f(x)$, alors elle est constante ;
- l'unicité de la fonction vérifiant les 3 hypothèses : pour cela, on applique le résultat précédent à $\frac{f}{\Gamma}$.
:wink:
NP
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Re: Théorème de Bohr-Mollerup

Messagepar Tonn83 » Lundi 01 Juin 2009, 21:22

Bonjour,

On peut aussi jeter un coup d'oeil sur Topics in complex analysis d'Andersson.
----------------------------
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Re: Théorème de Bohr-Mollerup

Messagepar oceane972 » Mercredi 03 Juin 2009, 02:16

Merci pour toutes vos réponses. En fait, , je ne peux pas me rendre à la BU cette semaine et je ne possède pas ces livres. Eh, je voulais avoir la démo cette semaine. :D
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Re: Théorème de Bohr-Mollerup

Messagepar Kazik » Jeudi 12 Novembre 2009, 20:28

Bonsoir,

je m'intéresse à ce théorème et je viens de voir sur wikipédia la chose suivante :
http://fr.wikipedia.org/wiki/Th%C3%A9or%C3%A8me_de_Bohr-Mollerup

Une démonstration particulièrement élégante en a été donné par Emil Artin dans l'ouvrage cité en référence.


L'ouvrage en question : Emil Artin, The Gamma Function, Holt, Rinehart, Winston, 1964.
Impossible de le trouver! Quelqu'un possède-t-il ce bouquin? Connais-t-il la preuve en question ?

D'avance merci.
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Re: Théorème de Bohr-Mollerup

Messagepar Arnaud » Jeudi 12 Novembre 2009, 22:54

Salut Kazik, ça faisait bien longtemps ;)

Je n'ai pas la réponse à ta question, la seule démo que je connais est celle du Rudin.
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Re: Théorème de Bohr-Mollerup

Messagepar guiguiche » Jeudi 12 Novembre 2009, 23:36

Arnaud a écrit:Salut Kazik, ça faisait bien longtemps ;)

+1 :bye1:
Désolé, rien de mathématiquement pertinent à ajouter.
Pas d'aide par MP : les questions sont publiques, les réponses aussi.
Tu as apprécié l'aide qui t'a été fournie ? Alors n'hésite pas à rendre la pareille à quelqu'un d'autre.
Un peu d'autopromotion.
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Re: Théorème de Bohr-Mollerup

Messagepar Kazik » Jeudi 12 Novembre 2009, 23:51

Bien le bonsoir! Effectivement, ça fait un bail! J'espère que tout se passe toujours aussi bien par ici :happy:
Pour ce qui est de E. Artin, j'ai trouvé un document pdf qui en parle, mais c'est en anglais et je ne saisi pas vraiment tout.

Il est dit la chose suivante :

However, to understand why $\Gamma$ is log convex, first note that sums of weakly log convex functions are also weakly log convex. Suppose $f$ and $g$ are weakly log convex functions. Then :

$\displaystyle \left(f(\frac{u+v}{2})\right) ^2\le f(u)f(v)$ and $\displaystyle\left(g(\frac{u+v}{2})\right)^2\le g(u)g(v)$
.

E. Artin showed that this implies $\displaystyle \left(f(\frac{u+v}{2})+g(\frac{u+v}{2})\right) ^2\le \left(f(u)+g(u)\right)\left(f(v)+g(v)\right)$ by considering the polynomial :

$\displaystyle h(x, y)=a(ax^2 +2bxy +cy^2)=(ax +by)^2 +(ac − b^2)y^2$, for a ≥ 0.
.

It follows that f + g is weakly log convex. Likewise, integrals of weakly log convex functions are weakly log convex. And since log convex functions are also weakly log convex, integrals of log convex functions are log convex.
$\display f(x) = exp(−t)t^{x−1}$ is a log convex function because (...). Therefore, $\Gamma$ is a log convex function because it is an integral of a log convex function.

Voilà! J'ai pas tout saisi, mais je crois que c'est sa preuve.
Log convex, je crois que chez nous c'est logarithmiquement convexe, mais pour le "weakly", je ne vois pas!
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Re: Théorème de Bohr-Mollerup

Messagepar Kazik » Jeudi 12 Novembre 2009, 23:58

Par ailleurs, d'où vient ce résultat :
si $\displaystyle \varphi$ est la somme d'une série entière $\displaystyle\sum_{k=0}^{+\infty}b_kz^k$ de rayon $R>0$ alors la fonction $u\to max_{t}|\varphi(exp(u+it))|$ est logarithmiquement convexe, et à quoi sert-il ? :yikes:
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Re: Théorème de Bohr-Mollerup

Messagepar EricK » Vendredi 13 Novembre 2009, 08:37

Kazik a écrit:Bonsoir,

je m'intéresse à ce théorème et je viens de voir sur wikipédia la chose suivante :
http://fr.wikipedia.org/wiki/Th%C3%A9or%C3%A8me_de_Bohr-Mollerup

Une démonstration particulièrement élégante en a été donné par Emil Artin dans l'ouvrage cité en référence.


L'ouvrage en question : Emil Artin, The Gamma Function, Holt, Rinehart, Winston, 1964.
Impossible de le trouver! Quelqu'un possède-t-il ce bouquin? Connais-t-il la preuve en question ?

D'avance merci.


http://bleuet3.bius.jussieu.fr/ipac20/i ... earch&ri=1

Il y a donc un exemplaire à la bibliothèque de recherche de Chevalleret et un autre à l'Institut Poincaré (en travaux pour encore une dizaine de jours).
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Re: Théorème de Bohr-Mollerup

Messagepar rebouxo » Vendredi 13 Novembre 2009, 08:56

Il est ici en version électronique payante : http://fr.dleex.com/details/?2160.

Il est pas sur Google.

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Re: Théorème de Bohr-Mollerup

Messagepar Arnaud » Vendredi 13 Novembre 2009, 11:11

@Erick : "weakly" correspond à quoi dans ce contexte ?
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Re: Théorème de Bohr-Mollerup

Messagepar Framboise » Vendredi 13 Novembre 2009, 11:23

Bonjour,

J'ai pu trouver une version ebook au format djvu ( concurrent du pdf ) sur Internet du livre de Artin.
Je ne pense pas que ce soit une version autorisée aussi je ne peux pas en donner l'adresse malheureusement ni le conserver.
La version originale en allemand de 1931 est peut-être dans le domaine public ?

Le cheminement du raisonnement est plutôt long et j'ai trop de flemme pour suivre tout.

Je préfère ( in french !!! :shock: cela arrive ) :
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Re: Théorème de Bohr-Mollerup

Messagepar Kazik » Vendredi 13 Novembre 2009, 15:28

Merci pour ces références.
>EricK : je ne suis pas de paris!
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Re: Théorème de Bohr-Mollerup

Messagepar EricK » Vendredi 13 Novembre 2009, 19:00

Arnaud a écrit:@Erick : "weakly" correspond à quoi dans ce contexte ?


A priori, weakly se traduit par faiblement ... sauf qu'il n'y a pas de pages web en français qui parlent de fonction faiblement convexe. Si on revient au texte par contre, on a tout de suite le sens de la chose (du moins il me semble). Une fonction weakly log-convex est naturellement une fonction dont le log est weakly convex. Donc on passe au log dans ce que tu as écrit et on a alors

$\ln\left(f\left(\frac{u+v}{2}\right)\right)^{2}=2\ln f\left(\frac{u+v}{2}\right)$
et
$\ln(f(u)f(v))=\ln f(u)+\ln f(v)$

et l'inégalité donnée devient
$\ln f\left(\frac{u+v}{2}\right)\leq\frac{\ln f(u)+\ln f(v)}{2}$

Il s'agit donc de ce que l'on appelle la mid-convexité ou convexité au sens de Jensen (parce que Jensen a d'abord défini les fonctions convexes comme celles vérifiant l'inégalité $f\left(\frac{x+y}{2}\right)\leq\frac{f(x)+f(y)}{2}$). La notion de mid-convexité n'est pas équivalente à la notion de convexité (il existe des fonctions mid-convexes qui ne sont pas convexes ... elles sont particulièrement sauvages ...). Par contre, une fonction continue (ou majorée sur un intervalle ou mesurable au sens de Lebesgue) et mid-convexe est convexe.
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Re: Théorème de Bohr-Mollerup

Messagepar Arnaud » Vendredi 13 Novembre 2009, 19:09

Ok, merci ;)
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Re: Théorème de Bohr-Mollerup

Messagepar Framboise » Samedi 14 Novembre 2009, 19:40

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Re: Théorème de Bohr-Mollerup

Messagepar Kazik » Dimanche 15 Novembre 2009, 15:52

Salut Erick :

La notion de mid-convexité n'est pas équivalente à la notion de convexité

En as-tu un exemple précis ? Pas trop sauvage quand même !

Par contre, une fonction continue (ou majorée sur un intervalle ou mesurable au sens de Lebesgue) et mid-convexe est convexe

La preuve de ceci est-elle simple ?

Enfin, quelqu'un sait-il qu'est-ce qu'être Schur-convex ?
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Re: Théorème de Bohr-Mollerup

Messagepar EricK » Dimanche 15 Novembre 2009, 21:35

Kazik a écrit:Salut Erick :

La notion de mid-convexité n'est pas équivalente à la notion de convexité

En as-tu un exemple précis ? Pas trop sauvage quand même !


Ça doit certainement être impossible de sortir un exemple du chapeau (m'étonnerait pas que l'existence d'une telle fonction soit une conséquence de l'axiome de choix).

Par contre, une fonction continue (ou majorée sur un intervalle ou mesurable au sens de Lebesgue) et mid-convexe est convexe

La preuve de ceci est-elle simple ?


Tu as une démo de continue+mid-convexe implique convexe dans Boas, A Primer of Real Functions
http://www.amazon.fr/Primer-Real-Functi ... 123&sr=8-3

La preuve qu'il donne est assez subtile (l'approche la plus simple est de considérer l'inégalité fonctionnelle sur des rationnels bien choisis, ceux dont le dénominateur est une puissance de 2, de faire une récurrence et pour passer dans les réels, on utilise un argument de densité ... si je me souviens bien, cette méthode marche aussi pour majorée+mid-convex implique convexe).

Enfin, quelqu'un sait-il qu'est-ce qu'être Schur-convex ?


Je sais :mrgreen:

C'est lié à la notion de majorisation (pas vraiment de terme en français puisque ce n'est déjà pas vraiment de l'anglais). En première approche, voir Wikipedia
http://en.wikipedia.org/wiki/Majorization
En seconde approche, tu as le chapitre 13 du bouquin de Steele, The Cauchy-Schwarz Master Class
http://www.amazon.fr/Cauchy-Schwarz-Mas ... 415&sr=8-1

Pour voir l'utilisation de la majorisation en détail, il y a le bouquin de Zhan, Matrix Inequalities
http://www.amazon.fr/Matrix-Inequalitie ... 527&sr=1-1

... et on pourrait ouvrir un nouveau fil parce que l'on vient d'abandonner le théorème de Bohr-Mollerup et que l'on flirte plutôt avec les théorèmes de Hardy-Littlewood-Polya, Birkhoff, Muirhead.
EricK
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