Théorème de Bohr-Mollerup

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Re: Théorème de Bohr-Mollerup

Messagepar Tonn83 » Dimanche 21 Février 2010, 09:32

EricK a écrit:Ça doit certainement être impossible de sortir un exemple du chapeau (m'étonnerait pas que l'existence d'une telle fonction soit une conséquence de l'axiome de choix).

L'axiome de Solovay (qui contredit l'axiome du choix) affirme que toutes les parties de $\R$ sont mesurables, et implique donc que toutes les fonctions mid-convexes sont convexes. Dire que l'axiome du choix est nécessaire est un peu osé, mais il est impossible de construire une fonction mid-convexe non convexe en utilisant uniquement les axiomes usuels. L'axiome du choix (auquel tout le monde adhère) sert en particulier à définir des ensembles non mesurables et des applications $\Q$-linéaires non continues. Ces dernières sont des exemples de fonctions mid-convexes non convexes.
Il implique en effet l'existence d'une base de $\R$ comme $\Q$-espace vectoriel, mettons $(e_i)_{i\in \R/\Q}$. Tout réel $x$ s'écrit comme une somme $x=\sum_i x_ie_i$, où tous les termes sont nuls sauf un nombre fini. L'application $x\mapsto \sum_i x_i$ est $\Q$-linéaire et non continue. Mieux, on pose
$f(x)=\sum_{i} x_i^2$

Cette fonction $f$ est strictement mid-convexe. Mais elle n'est pas mesurable. Elle n'est pas non plus bornée au voisinage de 0.
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Re: Théorème de Bohr-Mollerup

Messagepar Aleph » Mercredi 24 Février 2010, 21:27

Bonjour,

le livre de Artin est en consultation partielle sur google books :
http://books.google.com/books?id=lkSE0I ... on&f=false
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