Théorème d'echantillonnage de Shannon

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Théorème d'echantillonnage de Shannon

Messagepar moumni » Vendredi 10 Février 2006, 08:57

Bonjour les internautes de ce superbe Forum.

Le théorème d'echantillonnage de Shannon est le suivant:
Si f est une fonction de $L^{2}(IR)$ et dont la transformée de Fourier est à support compact ($[-\Omega,\Omega]$). Alors f est parfaitement déterminée en tout point de IR par la donnée de ses valeurs au points $\{\dfrac{n\pi}{\Omega},n\in{Z}\}$, en effet ona :

$$f(t)=\displaystyle{\sum_{n\in{Z}}f\left(\frac{n\pi}{\Omega}\right)\frac{\sin(\Omega{t}-n\pi)}{\Omega{t}-n\pi}}$$

pour tout $t\in{IR}$.

Ma question est la suivante: Est ce qu'il y a une version plus générale de ce théorème?

Je veux dire par vesion générale: peut-on remplacer la fonction $\dfrac{\sin(\Omega{t}-n\pi)}{\Omega{t}-n\pi}$ par une autre fonction qui décroit plus rapidement vers zéro à l'infini (que cette fonction $\dfrac{\sin(\Omega{t}-n\pi)}{\Omega{t}-n\pi}$ ).

Merci bien davantage pour l'aide.
Amicalement,
Moumni
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Messagepar volny » Mardi 14 Mars 2006, 14:36

Bonjour.

Ce que j'ai retenu du théorème de Shannon :

Si la bande passante d'un signal est B, c'est à dire si sa T.F. est nulle en dehors d'un intervalle de largeur B (donc à support compact), alors le signal est déterminé sans ambiguité par la donnée de sa T.F.

C'est un peu différent de votre formulation, car le spectre du signal n'est pas forcément centré, et deux signaux ayant la même largeur de bande peuvent avoir exactement les mêmes valeurs aux points que vous citez (par exemple f(x)=k, dont le spectre est à support compact, puisque réduit à un dirac en zéro, et f(x)=sin(t), dont le spectre est réduit à un dirac en 1 (si on ajoute la partie imaginaire qui va bien, on si on considére un signal analytique, je ne cherche pas à pinailler.)

Votre question est : peut on calculer la transformée de Fourrier inverse avec d'autres fonctions que les fonctions sinus (et cosinus).

Je crains que ce ne soit plus une transformée de Fourrier. Bien sur on peut toujours chercher une famille génératrice dans une space de fonction, et décomposer sur cette famille.

Mais on s'éloigne de l'esprit dans lequel on utilise Shannon en traitement de signal.

Cette réponse n'est qu'une réponse partielle, et un peu hors sujet, j'en suis désolé.

Amicalement
Volny
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Messagepar moumni » Mardi 14 Mars 2006, 14:49

Merci bien volny pour ta réponse.
Je ne sais pas si quelqu'un peut me donner un lien sur le net dans lequel je peux trouver une indication sur ce que tu viens de parler
Amicalement
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