Sur le théorème de Fubini

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Sur le théorème de Fubini

Messagepar moumni » Mercredi 19 Avril 2006, 14:21

Bonjour, Je sais que le théorème de Fubini me permet d'intervertir deux integrales si les fonctions dedans sont dans $L^{1}(R\times[-1,1])$, est ce que je peut faire la même chose si mes fonctions sont dans $L^{2}(R\times[-1,1])$?
Si on ne peut pas le faire, comment fairais-je pour intervertir les deux integrales suivantes:

$$\displaystyle{\lim_{\alpha\rightarrow{+\infty}}\int_{-\alpha}^{\alpha}\left(\int_{-1}^{1}\varphi(x)\frac{\sin(c(t-x))}{\pi(t-x)}dx\right)e^{-iwt}dt}$$


$c$ est un réel strictement positif et $\varphi\in{L^{2}(R)}$.
J'ai besoin d'intervertir ces deux integrales? comment le justifier
Merci bien davantage pour l'aide
Amicalement
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Messagepar sotwafits » Mercredi 19 Avril 2006, 19:04

A priori ta fonction n'est pas dans $L^2(\R\times[-1,1])$
Je pense qu'on ne peut pas utiliser le théorème de Fubini directement dans ton cas.

Essaie plutôt d'utiliser une méthode analogue à la formule d'inversion de la transformée de Fourier, en utilisant la convolution par une approximation de l'unité à décroissance rapide.

Mais que veux-tu faire exactement ?
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Messagepar stokastik » Jeudi 20 Avril 2006, 10:50

Je ne sais pas si ça peut t'aider, mais remarque qu'à $\alpha$ fixé, tu intègres une fonction sur $[-\alpha ; \alpha] \times [-1 ; 1]$
stokastik
 

Messagepar moumni » Jeudi 20 Avril 2006, 12:43

Merci bien pour vos réponses primaux.
@ Sotwafits: SI SI ma fonction

$$(t,x)\rightarrow\varphi(x)\frac{\sin(c(t-x))}{\pi(t-x)}\right)e^{-iwt}$$


est dans $L^{2}(R\times[-1,1])$
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Messagepar stokastik » Jeudi 20 Avril 2006, 13:19

L'énoncé suggère qu'à t fixé, l'intégrale $\displaystyle{\int_{-1}^{1}\varphi(x)\frac{\sin(c(t-x))}{\pi(t-x)}dx}$ a un sens. Mais à x fixé, l'intégrale $\displaystyle{\int_{-\alpha}^{\alpha}\frac{\sin(c(t-x))}{\pi(t-x)}e^{-iwt}dt}$
en a-t-elle un ?
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Messagepar sotwafits » Jeudi 20 Avril 2006, 15:00

moumni a écrit:Merci bien pour vos réponses primaux.
@ Sotwafits: SI SI ma fonction

$$(t,x)\rightarrow\varphi(x)\frac{\sin(c(t-x))}{\pi(t-x)}\right)e^{-iwt}$$


est dans $L^{2}(R\times[-1,1])$

:oops: désolé, j'avais lu trop vite
Je pensais $L^2(\R\times\R)$
Mais vu que $[-1,1]$ est borné et que $\frac{\sin(c(t-x))}{\pi(t-x)}$ est bornée indépendamment de $t$ et $x$, il n'y a pas de problème
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Messagepar moumni » Jeudi 20 Avril 2006, 16:31

Puisque ma fonction

$$(t,x)\rightarrow\varphi(x)\frac{\sin(c(t-x))}{\pi(t-x)}\right)e^{-iwt}$$


est dans $L^{2}(R\times[-1,1])$
Comment pourrais-je justifier la permutaion des deux integrales suivantes

$$\displaystyle{\lim_{\alpha\rightarrow{+\infty}}\int_{-\alpha}^{\alpha}\left(\int_{-1}^{1}\varphi(x)\frac{\sin(c(t-x))}{\pi(t-x)}dx\right)e^{-iwt}dt}$$


$c$ est un réel strictement positif et $\varphi\in{L^{2}(R)}$.
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Messagepar sotwafits » Jeudi 20 Avril 2006, 17:46

À $\alpha$ fixé, la permutation des deux intégrales est évidente, car si une fonction est $L^2$ sur un ensemble borné, alors elle est $L^1$.
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Messagepar moumni » Vendredi 21 Avril 2006, 12:40

Bon, essayons avec $\alpha>0$ fixé comme tu l'as dit:
Puisque ma fonction

$$(t,x)\rightarrow\varphi(x)\frac{\sin(c(t-x))}{\pi(t-x)}\right)e^{-iwt}$$


est dans $L^{2}(R\times[-1,1])$ et par suite elle
est dans $L^{1}([-\alpha,\alpha]\times[-1,1])$ donc en utlisant le théorème de Fubini on peut écrire

$$\int_{-\alpha}^{\alpha}\left(\int_{-1}^{1}\varphi(x)\frac{\sin(c(t-x))}{\pi(t-x)}dx\right)e^{-iwt}dt=$$


$$\int_{-1}^{1}\varphi(x)\left(\int_{-\alpha}^{\alpha}\frac{\sin(c(t-x))}{\pi(t-x)}e^{-iwt}dt\right)dx$$


et puis je passe à la limite sur $\alpha\rightarrow{+\infty}$ j'aurais

$$\displaystyle{\lim_{\alpha\rightarrow{+\infty}}\int_{-\alpha}^{\alpha}\left(\int_{-1}^{1}\varphi(x)\frac{\sin(c(t-x))}{\pi(t-x)}dx\right)e^{-iwt}dt=}$$


$$\displaystyle{\lim_{\alpha\rightarrow{+\infty}}\int_{-1}^{1}\varphi(x)\left(\int_{-\alpha}^{\alpha}\frac{\sin(c(t-x))}{\pi(t-x)}e^{-iwt}dt\right)dx}$$



Ma nouvelle question est:
Comment pourais-je justifier la permutation entre les deux signes integrale et limite pour avoir finalement le résultat

$$\int_{-1}^{1}\varphi(x)\left(\displaystyle{\lim_{\alpha\rightarrow{+\infty}}}\int_{-\alpha}^{\alpha}\frac{\sin(c(t-x))}{\pi(t-x)}e^{-iwt}dt\right)dx$$


Merci bien davantage pour l'aide
amicalement
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Messagepar sotwafits » Vendredi 21 Avril 2006, 12:59

Je répète ce que je disais le 19 avril : il faut faire une convolution par une approximation de l'unité à décroissance rapide (gaussienne par exemple).
Directement on ne peut pas appliquer le théorème de Fubini pour justifier l'interversion limite/intégrale car ta fonction n'est pas $L^1$.
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Messagepar moumni » Vendredi 21 Avril 2006, 13:23

Je m'excuse, je ne comprends exactement de quoi vous parler lorsque vous dites
"faire une convolution par une approximation de l'unité à décroissance rapide (gaussienne par exemple). "
Je vais convoler quoi par cette approximation de l'unité à décroissance rapide que je connais pas même,
Merci bien davantage pour eclaircir ces points
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Messagepar sotwafits » Vendredi 21 Avril 2006, 14:00

Ton problème ressemble à la démonstration de la formule d'inversion de Fourier $f(x)=\ds\int_\R \hat f(\xi)e^{ix\xi}d\xi$, qui se montre en utilisant la convolution par une approximation de l'unité (c'est à dire une famille de fonctions qui tend vers un dirac).
J'ai oublié le détail (je vais m'y replonger aujourd'hui si j'ai le temps).
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Messagepar moumni » Vendredi 21 Avril 2006, 14:15

je t'attendrais.
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Messagepar sotwafits » Vendredi 21 Avril 2006, 18:49

Non, je ne vois pas comment faire.

Si tu précisais ton problème ?
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Messagepar moumni » Mardi 25 Avril 2006, 12:38

voila mon problème:
Je me donne la fonction$\varphi_{n,c}\in{L^{2}(R)}$ définie par:

$$\varphi_{n,c}(x)=\frac{c}{\pi\lambda_{n}(c)}\int_{-1}^{1}\varphi_{n,c}(x)\rho\left(\frac{c}{\pi}(t-x)\right)dt$$


ou $\rho(t)=\frac{\sin(\pi t)}{\pi t}$ et $c$ et $\lambda_{n}(c)$ sont des constantes.
Mon problème est de calculer la transformée de Fourier de $\varphi_{n,c}$.
Et voila ce que j'ai fait et ou est ce que je suis coincé:
$\varphi_{n,c}\in L^{2}(\mathbb{R})$ donc sa transformee de Fourier est
donnee par:

$$\hat{\varphi}_{n,c}(w)=\displaystyle{\lim_{\alpha\rightarrow +\infty}\int_{-\alpha}^{+\alpha}\varphi_{n,c}(t)e^{-iwt}dt}$$


$$=\displaystyle{\lim_{\alpha\rightarrow +\infty}\int_{-\alpha}^{+\alpha}\left[\frac{c}{\pi\lambda_{n}(c)}\int_{-1}^{1}\varphi_{n,c}(x)\rho\left(\frac{c}{\pi}(t-x)\right)dx\right]e^{-iwt}dt}$$


$$=\frac{c}{\pi\lambda_{n}(c)}\displaystyle{\lim_{\alpha\rightarrow +\infty}\int_{-\alpha}^{-\alpha}\left[\int_{-1}^{1}\varphi_{n,c}(x)\rho\left(\frac{c}{\pi}(t-x)\right)dx\right]e^{-iwt}dt}
 $$


Or la fonction

$$(t,x)\longrightarrow
 \varphi_{n,c}(x)\rho\left(\frac{c}{\pi}(t-x)\right)e^{-iwt}\:\:\:\in
 L^{2}(\mathbb{R}\times[-1,1])$$

Donc d'apres le théorème de Fubini, on
peut intervertir les deux intégrales de la dernière
éegalité et ainsi on aura:

$$\hat{\varphi}_{n,c}(w)=\frac{c}{\pi\lambda_{n}(c)}\int_{-1}^{1}\varphi_{n,c}(x)\left(\displaystyle{\lim_{\alpha\rightarrow +\infty}\int_{-\alpha}^{+\alpha}\rho\left(\frac{c}{\pi}(t-x)\right)e^{-iwt}dt}\right)dx$$


Or vous m'avez dit que je ne peux pas justifier la permutation des deus untégrales par le théorème de Fubini car mes fonctions ne sont pas dans $L^1$.
Comment fairais-je donc pour justifier cette permutation.
Merci bien davantage pour l'aide
Amicalement
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Messagepar sotwafits » Mardi 25 Avril 2006, 14:49

moumni a écrit:voila mon problème:
Je me donne la fonction$\varphi_{n,c}\in{L^{2}(R)}$ définie par:

$$\varphi_{n,c}(x)=\frac{c}{\pi\lambda_{n}(c)}\int_{-1}^{1}\varphi_{n,c}(x)\rho\left(\frac{c}{\pi}(t-x)\right)dt$$


ou $\rho(t)=\frac{\sin(\pi t)}{\pi t}$ et $c$ et $\lambda_{n}(c)$ sont des constantes.

Je ne comprends pas ta définition de $\varphi_{n,c}(x)$ : elle se définit à partir d'elle-même.
L'intégrale est par rapport à $t$, donc on peut sortir $\varphi_{n,c}(x)$ de l'intégrale ??

Sinon, une idée pour ton problème : essaie de montrer l'interversion intégrale/limite dans le cas où $\varphi_{n,c}$ est ${\cal C}^\infty$ à support compact, et utilise la densité de ces fonctions dans $L^2$
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Messagepar moumni » Mardi 25 Avril 2006, 15:04

Je m'excuse, je me suis trompé, au lieu de taper t j'ai tapé x, voila la bonne définition de $\varphi_{n,c}$
La fonction$\varphi_{n,c}\in{L^{2}(R)}$ est définie par:

$$\varphi_{n,c}(x)=\frac{c}{\pi\lambda_{n}(c)}\int_{-1}^{1}\varphi_{n,c}(t)\rho\left(\frac{c}{\pi}(t-x)\right)dt$$


ou $\rho(t)=\frac{\sin(\pi t)}{\pi t}$ et $c$ et $\lambda_{n}(c)$ sont des constantes.
En d'autres termes: La fonction $\varphi_{n,c}$ est une fonction propre de l'opérateur intégrale dont le noyau est la fonction $\rho$.
Je m'excuse une autre fois pour cette faute de frappe
Merci bien davantage pour l'aide
Amicalement
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Messagepar sotwafits » Mardi 25 Avril 2006, 15:39

moumni a écrit:Je m'excuse, je me suis trompé, au lieu de taper t j'ai tapé x, voila la bonne définition de $\varphi_{n,c}$
La fonction$\varphi_{n,c}\in{L^{2}(R)}$ est définie par:

$$\varphi_{n,c}(x)=\frac{c}{\pi\lambda_{n}(c)}\int_{-1}^{1}\varphi_{n,c}(t)\rho\left(\frac{c}{\pi}(t-x)\right)dt$$


ou $\rho(t)=\frac{\sin(\pi t)}{\pi t}$ et $c$ et $\lambda_{n}(c)$ sont des constantes.
En d'autres termes: La fonction $\varphi_{n,c}$ est une fonction propre de l'opérateur intégrale dont le noyau est la fonction $\rho$.

OK, je comprends mieux

Donc on peut écrire :
$\varphi_{n,c}(x)=\dfrac{c}{\pi\lambda_n(c)}\ds\int_\R \varphi_{n,c}(t)1_{[-1,1]}(t)\rho(\frac c\pi(t-x))\,dt$

On a donc $\varphi_{n,c}=\dfrac{c}{\pi\lambda_n(c)}\bigl(\varphi_{n,c} \times 1_{[-1,1]}\bigr)*\rho\left(\frac c\pi\cdot\right)$ : peut-être que ça peut t'aider ?

$\times$ désigne la multiplication

$*$ désigne la convolution

$1_{[-1,1]}$ désigne la fonction caractéristique de $[-1,1]$

$\rho\left(\frac c\pi\cdot\right)$ désigne la fonction $t\longmapsto \rho\left(\frac c\pi t\right)$
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Messagepar moumni » Mardi 25 Avril 2006, 16:02

Merci sotwafits pour l'indication, je vais l'essayer et je vous dirais qu'est ce que ça donne
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Messagepar kilébo » Mardi 25 Avril 2006, 18:51

Bon vous m'arrêtez tout de suite si je dis une bêtise mais si tu considères le compact [-1, +1] x [-1, +1]. Une fonction $L^{2}$ sera automatiquement $L^{1}$.

Car sur un compact $1\le{}p\le{}q\le{}\infty\Rightarrow{}L^{q}\subset{}L^{p}$ c'est une conséquence de l'inégalité de Hölder. D'ailleurs dans ce cas précis, c'est même une conséquence de l'inégalité de Cauchy-Schartz.
Dernière édition par kilébo le Mardi 25 Avril 2006, 23:01, édité 1 fois.
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