[Doc] Sommes et produits d'espaces vectoriels

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[Doc] Sommes et produits d'espaces vectoriels

Messagepar MB » Dimanche 19 Juin 2005, 19:14

Voici un petit article visant à comparer les notions de somme d'espaces vectoriels et de produit d'espaces vectoriels. On montre que les deux notions coïncident si la famille des espaces vectoriels considérés est finie mais que ce n'est pas le cas si la famille est infinie.
Fichiers joints
Sommes et Produits.pdf
Sommes et produits d'espaces vectoriels
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Messagepar gothmog » Lundi 18 Juillet 2005, 06:10

Salut,

Je n'ai pas pris le temps de lire le fichier joint en entier, mais il me semble qu'il y a un premier souci : il ne suffit pas que les sous-espaces $F_i$, $i \in I$, soient d'intersection nulle pour que leur somme soit directe !!!

Sans cette hypothèse, ta première remarque est d'ailleurs également erronée : dans $\mathbb{R}^2$, les sous-espaces $F_\theta = \mathbb{R}{\rm e}^{{\rm i}\theta}$, $\theta \in [0; 2\pi[$, sont d'intersection nulle (même deux-à-deux), mais leur somme n'est pas directe, et l'ensemble des paramètres $[0; 2\pi[$ est infini (bien qu'on soit en dimension finie 2).

Gothmog.
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Messagepar MB » Lundi 18 Juillet 2005, 12:37

gothmog a écrit:il ne suffit pas que les sous-espaces $F_i$, $i \in I$, soient d'intersection nulle pour que leur somme soit directe !!!


Oui, en effet (sauf pour $Card(I)=2$), je constate que ce document le laisse sous-entendre. Je considère les $F_i$ d'intersection nulle puisque si ils sont en somme directe (ce que je vais considérer par la suite) ce sera bien le cas. Il est vrai que cela n'est pas utile et que je devrais supposer directement qu'ils sont bien en somme directe. Je crois d'ailleurs que c'est ce que j'avais fait au début ... De plus la première remarque est mal placée puisqu'elle n'est justifiée que si l'on a bien une somme directe.

Je vais modifier le document. Merci gothmog.
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Messagepar MB » Samedi 25 Mars 2006, 14:05

Le fichier a été modifié.
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Messagepar la main gauche » Jeudi 30 Mars 2006, 14:32

Quelque remarques sur le fond:

* L'hypothèse de départ "les E_i sev d'un même E'' me paraît un peu bizarre: un des interêts des sommes et produits n'est il pas de produire un espace vectoriel E dont les E_i sont des sev?

* Dans le 3, je ne sais pas ce qu'est R^N si ce n'est l'ensemble des suites réelles, c'est vrai que l'identité est un isomorphismes linéaire, mais ça fait un peu jargon technique.

* Peut-être qu'il n'est pas inutile de préciser que la propriété sur les espaces de Banach est une conséquence du théorème de Baire, et au passage quelle norme fait de R^N un espace de Banach (je suis d'ailleurs bien curieux de le savoir ;) )


Quelques remarque sur la forme:

* Vous utilisez vraiment très souvent le mot "clairement'', certains diront trop, qui n'a pas force d'argument.

* Dans le numéro 3, j'aime bien noter vos u_i par delta^i (par allusion au symbole de Kronecker), je crois qu'on rencontre cette pratique dans Meise & Vogt (Oxford Press).

* L'usage du futur dans un texte mathématique est assez périlleux, d'une part parcequ'il n'arrive jamais; d'autre part parcequ'il soulève le problème de la concordance des temps, souvent délicate à réaliser, d'autant plus que le présent semble être le temps naturel du discours mathématique (c'est d'ailleurs le temps que vous utilsiez le plus dans votre article).


J'espère que ces remarques vous aideront à ce que vos efforts soient reconnus le mieux possible. Pour vous aider à me pardonner tout ce qui ressemble à des reproches de ma part, je vous propose l'argument suivant, pour prouver que R^N n'a pas de base dénombrable:

L'ensemble des fonction indciatrices des parties de N est un système libre, qui n'est pas dénombrable puisqu'en bijection avec les parties de N.

[On démontre que X et P(X) ne sont pas en bijection en raisonnant par l'absurde: s'il existe une surjection X->P(X), on forme l'ensemble A des x e X tq x \not\in f(x) et on examine les antécédants de A.]
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Messagepar MB » Jeudi 30 Mars 2006, 15:57

la main gauche a écrit:* L'hypothèse de départ "les E_i sev d'un même E'' me paraît un peu bizarre: un des interêts des sommes et produits n'est il pas de produire un espace vectoriel E dont les E_i sont des sev?


Pour la somme, je ne vois pas comment.

la main gauche a écrit:* Dans le 3, je ne sais pas ce qu'est R^N si ce n'est l'ensemble des suites réelles, c'est vrai que l'identité est un isomorphismes linéaire, mais ça fait un peu jargon technique.


Oui c'est exactement la même chose.

la main gauche a écrit:* Peut-être qu'il n'est pas inutile de préciser que la propriété sur les espaces de Banach est une conséquence du théorème de Baire, et au passage quelle norme fait de R^N un espace de Banach (je suis d'ailleurs bien curieux de le savoir ;) )


On peut déjà travailler sur un sous-ensemble de $\R^{\N}$.

la main gauche a écrit:* Vous utilisez vraiment très souvent le mot "clairement'', certains diront trop, qui n'a pas force d'argument.


la main gauche a écrit:* Dans le numéro 3, j'aime bien noter vos u_i par delta^i (par allusion au symbole de Kronecker), je crois qu'on rencontre cette pratique dans Meise & Vogt (Oxford Press).


Ok. :wink:

la main gauche a écrit:* L'usage du futur dans un texte mathématique est assez périlleux, d'une part parcequ'il n'arrive jamais; d'autre part parcequ'il soulève le problème de la concordance des temps, souvent délicate à réaliser, d'autant plus que le présent semble être le temps naturel du discours mathématique (c'est d'ailleurs le temps que vous utilsiez le plus dans votre article).


En effet, j'ai pas fait attention à ça. Je vais y penser.

la main gauche a écrit:J'espère que ces remarques vous aideront à ce que vos efforts soient reconnus le mieux possible.


Pas de problème. C'est fait pour évoluer !
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Messagepar linfir » Jeudi 30 Mars 2006, 16:56

MB a écrit:Pour la somme, je ne vois pas comment.


Version constructive :

La somme (externe) des $E_i$ est l'ensemble des applications à support fini de $I$ dans l'union disjointe des $E_i$, munie de la structure naturelle d'ev.

L'union disjointe des $E_i$, c'est l'union des $E_i \times \{i\}$, qui est un sous-ensemble de $\left( \cup E_i \right) \times I$.

Ou encore : la somme des $E_i$ est le sev du produit des $E_i$ dont les éléments sont exactement ceux du produit qui n'ont qu'un nombre fini de composantes non nulles.



Version catégorique (nettement plus jolie, utile pour impressionner) :

Si on a une famille d'ev $E_i$, pour $i \in I$, la somme des $E_i$ est la donnée d'un ev $S$ et de morphismes $s_i : E_i \to S$ tels que :


Pour tout ev $F$ et pour toute famille de morphismes $f_i : E_i \to F$, on peut factoriser $f_i$ sous la forme $f_i = g \circ s_i$, où $g : S \to F$ est un morphisme.


Et cela caractérise bien (à isomorphisme unique près) $S$ et les $s_i$.

Cette définition au premier abord un peu compliquée dit simplement que se donner une application de la somme des $E_i$ dans quelque chose, c'est exactement la même chose que de se donner des applications de $E_i$ dans ce quelque chose.
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Messagepar pb » Jeudi 30 Mars 2006, 23:22

Les fonctions indicatrices des parties non vides de $\bf N$ ne sont pas linéairement indépendantes :?

Par exemple, $\chi_{A}+\chi_{B}-\chi_{A\cup B}=0$ si $A$ et $B$ sont deux parties disjointes de $\bf N$.
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Messagepar la main gauche » Vendredi 31 Mars 2006, 07:27

Au temps pour moi! Voici un autre argument cette fois qui utilise le théorème de Baire:

R^N est l'espace vectoriel des séries formelles à coefficients réels, si w(g) est l'ordre de la série formelle non nulle g, alors l'application d(f,g) qui vaut 0 si f = g et exp(-w(f - g)) sinon est une distance, qui fait de R^N un espace complet, et on peut faire l'argument standard sur la réunion de fermés maigres. (mais il ne s'agit pas d'un espace de Banach) Plus de détails se trouvent dans le livre de Josette Calais, _Anneaux et Modules_ aux PUF.

Avec les indicatrices des parties de N, on peut faire comme suit: le sous-espace de R^N formé des suites bornées, muni de la norme uniformen, est complet et pas séparable, ces fonctions indicatrices sont toutes à distance un les une des autres, et les boules de rayon 1/2 centrées sur ces suites forment une famille non dénombrable d'ouverts disjoints. Or un espace complet à base dénombrable doit être séparable. [en fait l'argument n'a pas l'air tout à fait différent du précédent]


Je n'arrive cependant pas à trouver un argument éloigné du théorème de Baire pour cette affirmation. Peut-être est-ce normal, car il semble bien qu'il y ait du "R n'est pas dénombrable'' là-dessous, ce qu'on peut voir comme une conséquence du théorème de Baire.
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Messagepar MB » Vendredi 31 Mars 2006, 15:33

linfir a écrit:La somme (externe) des $E_i$ est l'ensemble des applications à support fini de $I$ dans l'union disjointe des $E_i$, munie de la structure naturelle d'ev.

L'union disjointe des $E_i$, c'est l'union des $E_i \times \{i\}$, qui est un sous-ensemble de $\left( \cup E_i \right) \times I$.


C'est quoi cette structure naturelle d'espace vectoriel sur l'union disjointe des $E_i$ ?
De plus quel est exactement l'ensemble $\cup E_i$ si les $E_i$ ne sont pas des sous-ensembles d'un même ensemble ?
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Messagepar pb » Vendredi 31 Mars 2006, 19:06

la main gauche a écrit:Je n'arrive cependant pas à trouver un argument éloigné du théorème de Baire pour cette affirmation. Peut-être est-ce normal, car il semble bien qu'il y ait du "R n'est pas dénombrable'' là-dessous, ce qu'on peut voir comme une conséquence du théorème de Baire.


En fait, ce n'est pas lié au cardinal de $\bf R$.
Pour tout corps commutatif $K$, le $K$-espace vectoriel $K^{\mathbf N}$ est de dimension égale à son cardinal (:shock:), donc au moins la puissance du continu (car $\mathrm{card}(K^{\mathbf N})\ge \mathrm{card}(\{0,1\}^{\mathbf N})=\textrm{puissance du continu}$).
On peut démontrer ça en parlant de fonctions caractéristiques de parties de $\bf N$. Je vais essayer de retrouver ça $\ldots$ :wink:
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Messagepar linfir » Samedi 01 Avril 2006, 05:39

MB a écrit:C'est quoi cette structure naturelle d'espace vectoriel sur l'union disjointe des $E_i$ ?


Sur l'union disjointe, aucune. C'est sur un ensemble d'applications qu'il y en a une.

Oups, j'ai fait une petite erreur. À la place de "applications à support fini de $I$ dans l'union disjointe des $E_i$", il faut lire "(la même chose) qui vérifie que $f(i) \in E_i$".

Là dessus, la structure naturelle est donnée par $f + g : i \to f(i)+g(i)$, et $\lambda f : i \to \lambda f(i)$.

Si on enlève le "à support fini", c'est exactement la définition du produit des $E_i$.

Si tu as du mal avec la définition de l'union disjointe, il suffit de considérer ça comme l'union normale, sauf qu'on prend des "copies" des ensembles de départ, de sorte que les ensembles soient deux à deux disjoints.

MB a écrit:De plus quel est exactement l'ensemble $\cup E_i$ si les $E_i$ ne sont pas des sous-ensembles d'un même ensemble ?


Il y a un axiome (axiome de la réunion) de la théorie des ensemble (ZF) qui dit que ça existe :

$$ \forall x \, \exists y \, \forall z \, \left[ z\in y \iff \exists t ( t \in x \text{ et } z \in t ) \right] $$



Il dit que si $ \{ \{a, b\}, \{ c\}\} $ est un ensemble, alors $\{a,b,c\}$ l'est aussi.
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Messagepar MB » Samedi 01 Avril 2006, 10:20

linfir a écrit:Sur l'union disjointe, aucune. C'est sur un ensemble d'applications qu'il y en a une.


Ah oui ... j'avais mal compris.

linfir a écrit:Si tu as du mal avec la définition de l'union disjointe, il suffit de considérer ça comme l'union normale, sauf qu'on prend des "copies" des ensembles de départ, de sorte que les ensembles soient deux à deux disjoints.


Oui c'est bon merci. Tout est clair ! :wink:

Je peux donc en effet enlever l'hypothèse que les $E_i$ sont tous des sous-espaces d'un même espace vectoriel.
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