Somme directe et intersection

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Somme directe et intersection

Messagepar Arthur Accroc » Lundi 25 Septembre 2006, 15:45

Bonjour.

L'exercice 3 p.376 du Fraysse-Arnaudiès d'algèbre me resiste (et il n'est pas le seul !). On y demande de trouver une CNS pour que, les $E_i$ ($i\in I$) étant des sous-espaces en somme directe et $F$ étant un sous-espace d'un ev $E$, on ait

$$(\ds\bigoplus_{i\in I} E_i) \cap F = \bigoplus_{i\in I} (E_i \cap F)$$



L'inclusion du second dans le premier est évidente. J'ai trouvé que pour que l'autre inclusion soit vraie, il faut et il suffit que pour tout choix de supplémentaires $G_i$ de $E_i \cap F$ dans $E_i$, on ait

$$(\ds\bigoplus_{i\in I} G_i) \cap F = \{0\}$$



Maintenant, je me demande si cette intersection dépend ou non du choix des $G_i$. Mon ami P. Marchand m'affirme que non, et a une démonstration, qui malheureusement sort largement du cadre dans lequel je voudrais faire entrer cet exercice.

Voyez-vous un argument simple pour ou contre cette intuition ?

\bye
Arthur Accroc
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le choix du supplémentaire

Messagepar michelll » Dimanche 08 Octobre 2006, 15:43

Si tu as démontré l'équivalence ("égalité" si et seulement si pour tout supplémentaire $G_i$ de $E_i \cap F$ dans $E_i$ ....) tu n'as plus besoin de démontrer que ca ne depend pas du choix du supplementaire.

ciao
michelll
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