Représentation irréductible unitaire d'un groupe topologique

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Représentation irréductible unitaire d'un groupe topologique

Messagepar dhahri » Mercredi 21 Février 2007, 16:39

Bonjour,
Quelqu'un peut-il m'expliquer ce qui suit:

Let G denote a topological group and $\hat{G}$, the so called dual of G, denote the set of all equivalence classes of unitary irreductible representations of G.

C'est quoi en fait $\hat{G}$? Malgré qu'on me donne des exemples je n'arrive pas à comprendre ce que signifie $\hat{G}$? et il est composé de quoi?
Les exemples donnés:
Si $G=R$ on a $\hat{G}=R$
Si $G=T=$cercle unité on a $\hat{G}=Z$
Merci bien davantage pour l'aide
dhahri
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Messagepar François D. » Mercredi 21 Février 2007, 20:40

Je peux juste traduire quasi-littéralement : $\widehat{G}$, appelé le dual du groupe topologique $G$, serait l'ensemble des « représentations unitaires et irréductibles » de $G$ ...

Je suppose que ça n'apporte pas grand'chose, surtout si en français on a d'autres expressions pour désigner ces objets :?.
François D.
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Messagepar guiguiche » Mercredi 21 Février 2007, 21:21

Je viens de jeter un oeil dans :
Groupes de Lie. Représentations linéaires et applications, G. Pichon, Hermann, 1973
et force est de constater que je ne comprends pas un traitre mot de ce qui est écrit à propos des représentations (et pourtant, j'ai eu quelques cours de DEA sur la question, mais c'était bien compliqué pour mes neurones à l'époque et maintenant c'est bien trop loin pour moi).
Pas d'aide par MP : les questions sont publiques, les réponses aussi.
Tu as apprécié l'aide qui t'a été fournie ? Alors n'hésite pas à rendre la pareille à quelqu'un d'autre.
Un peu d'autopromotion.
guiguiche
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Messagepar jobherzt » Jeudi 22 Février 2007, 17:34

je suis loin d'etre calé sur le sujet, mais voii l'étendue de mes connaissances :

- une representation d'un groupe $G$ est un morphisme de $G$ vers $GL(V)$ ou $V$ est un $K-$espace vectoriel. autrement dit c'est une action de $G$ sur $V$ qui "respecte" la linearité.
- une representation est irreductible s'il n'existe pas de sous espace propre de $V$ stable par l'action de $G$.
- une representation unitaire je ne sais plus trop... mais il me semble que toute representation est equivalente a une representation unitaire. a verifier..
- 2 representation sont equivalente si on peut passer de l'ne a l'autre via un isomorphisme d'ev..
- l'ensemble des classes d'equivalence de representations peut etre munie d'une structure d'anneau, vi le produit direct et le produit tensoriel, meme si je ne vois pas trop ce qu'est l'inverse dans ce cas :?:

ceci dit, je ne vois pas trop comment justifier les exeples que tu donnes avec ca...
jobherzt
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Messagepar martini_bird » Jeudi 22 Février 2007, 19:09

Salut,

comme indiqué sur un autre forum, le dual d'un groupe est simplement l'ensemble de ses caractères (les applications continues $G\rightarrow S^1$). Il y a une introduction au sujet dans Fourier Analysis on Number Fields, Ramakrishnan & Valenza, Springer, p.86. Sinon, tapez sur google "dualité de Pontryagin".

Cordialement.
martini_bird
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Messagepar bibi6 » Jeudi 22 Février 2007, 20:53

Bonsoir,

Pour compléter un peu:
jobherzt a écrit:- une representation d'un groupe $G$ est un morphisme de $G$ vers $GL(V)$ ou $V$ est un $K-$espace vectoriel. autrement dit c'est une action de $G$ sur $V$ qui "respecte" la linearité.

Je pense qu'on peut même se réduire à $V = \R$ ou $\C$: à voir...
On parle de représentation triviale lorsque le morphisme envoie tout sur l'identité, et de représentation fidèle si en quelque sorte le morphisme est injectif (càd, à deux éléments de groupe distincts correspondent deux matrices inversibles différentes).
jobherzt a écrit:- une representation est irreductible s'il n'existe pas de sous espace propre de $V$ stable par l'action de $G$.

Je préciserais en disant ceci:
pour définir le morphisme, tu t'es fixé des matrices "de base". Si tu ne peux pas trouver un sous-ensemble de ces matrices qui forme un sous-groupe du groupe image de ton morphisme, alors ta représentation est irréductible.
jobherzt a écrit:- une representation unitaire je ne sais plus trop... mais il me semble que toute representation est equivalente a une representation unitaire. a verifier..

Il me semble aussi. Je confirme pour les groupes finis. (en ayant été consulter quelques notes de cours). Concernant la définition de représentation unitaire, j'ai ceci:
une représentation est dite unitaire ssi pour tout $g$ élément du groupe, si $M(g)$ est la matrice qui lui est associée, alors $Mg^{-1}) = M^+(g)$.
(Voir le lien avec les matrices unitaires complexes).
jobherzt a écrit:- 2 representation sont equivalentes si on peut passer de l'une a l'autre via un isomorphisme d'ev..

Précisons un peu.
On considère $S$ un ensemble quelconque (en vue que $S$ sera remplacé par un groupe); et $\{M(s)\}_{s\in S}, \{N(s)\}_{s\in S}$ un ensemble de matrices (disons dans $GL_n(K)$).
On dit que les systèmes $M$ et $N$ sont équivalents ssi il existe $P$ une matrice inversible telle que $P.N(s) = M(s).P \text{ pour tout } s \in S$.
Ceci s'applique naturellement aux représentations.
L'iso que tu mentionnes est lié à cette matrice $P$.
jobherzt a écrit:- l'ensemble des classes d'equivalence de representations peut etre munie d'une structure d'anneau, vi le produit direct et le produit tensoriel, meme si je ne vois pas trop ce qu'est l'inverse dans ce cas :?:

Là par contre je ne m'aventure pas... faudrait voir ce que ça donne, perso j'ai jamais fait.
Concernant tes exemples, je suppose que ce ne sont jamais que des isomorphismes (et pas des égalités...)
D'après moi, $\hat{G}$ correspond à la construction suivante:
tu prends toutes les représentations irréductibles (-> morphismes); muni d'une certaine structure de groupe (peut-être comme ce que jobherzt propose...?); tu considère la relation d'équivalence des "représentations équivalentes" (qui, pour la classe du morphisme servant d'identité, doit se ramener à un sous-groupe...).
Et alors $\hat{G}$ s'obtient comme le quotient.
bibi6
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