[Résolu] Règle des signes de Descartes

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[Résolu] Règle des signes de Descartes

Messagepar biskin81 » Mercredi 31 Mars 2010, 13:37

Bonjour,

je suis à la recherche d'une démonstration de la règle des signes de Descartes. Pour ceux qui ne connaissent pas cette règle ou qui ne s'en souviennent pas, il s'agit en fait de compter le nombre de changements de signes des coefficients d'un polynôme de degré n. Ce nombre de changement nous indique combien de racines seront réelles positives.
Exemple:
$x^4 + 5x^3 - 2x^2 - x + 3 = 0$
Nous avons donc la séquence de signe suivante : (+, +, -, -, +) ==>> nous avons donc 2 racines réelles positives.

Quelqu'un connaîtrait-il sa démonstration ?

Merci d'avance ! :)
Dernière édition par biskin81 le Mercredi 31 Mars 2010, 13:49, édité 1 fois.
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Re: Règle des signes de Descartes

Messagepar kojak » Mercredi 31 Mars 2010, 13:45

bonjour,

Un minimum de recherche avec ton ami google donne ça
pas d'aide par MP
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Re: Règle des signes de Descartes

Messagepar biskin81 » Mercredi 31 Mars 2010, 13:49

kojak a écrit:Un minimum de recherche avec ton ami google donne ça

Ce n'est pourtant pas dans mes habitudes de ne pas faire des recherches dans Google. Je n'avais simplement pas trouvé ce site. Milles excuses et merci beaucoup pour ce lien très pratique !
En revanche, je tiens à préciser que Google n'est pas mon ami :roll: :mrgreen:
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Re: [Résolu] Règle des signes de Descartes

Messagepar fp » Mercredi 31 Mars 2010, 14:44

biskin81 a écrit:Bonjour,

je suis à la recherche d'une démonstration de la règle des signes de Descartes. Pour ceux qui ne connaissent pas cette règle ou qui ne s'en souviennent pas, il s'agit en fait de compter le nombre de changements de signes des coefficients d'un polynôme de degré n. Ce nombre de changement nous indique combien de racines seront réelles positives.
Exemple:
$x^4 + 5x^3 - 2x^2 - x + 3 = 0$
Nous avons donc la séquence de signe suivante : (+, +, -, -, +) ==>> nous avons donc 2 racines réelles positives.


Heu, ce polynôme a du mal à avoir deux racines réelles positives...

FP.
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Re: [Résolu] Règle des signes de Descartes

Messagepar biskin81 » Mercredi 31 Mars 2010, 14:51

En effet, un petit calcul avec MATLAB me donnes les 4 racines suivantes...

-5.3207
-0.8365
0.5786 + 0.5825i
0.5786 - 0.5825i


J'ai dû mal lire la règle des signes. Je relis ça !!
En fait, ça doit sûrement être "2 racines" ayant une partie réelle positive". Je vous confirme ça dans la journée...
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Re: [Résolu] Règle des signes de Descartes

Messagepar balf » Mercredi 31 Mars 2010, 20:56

La règle des signes ne concerne que les racines réelles positives, et elle donne le nombre maximal de racines positives. Elle précise que le nombre effectif de racines positives a même parité que ce nombre maximal.

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Re: [Résolu] Règle des signes de Descartes

Messagepar biskin81 » Mercredi 31 Mars 2010, 21:01

balf a écrit:La règle des signes ne concerne que les racines réelles positives, et elle donne le nombre maximal de racines positives.

Oui mais c'est bien la partie réelle des racines qui est positive non ? Dans l'exemple donné ci-dessus, c'est le cas.
balf a écrit:Elle précise que le nombre effectif de racines positives a même parité que ce nombre maximal.

Que veux-tu dire par parité ?
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Re: [Résolu] Règle des signes de Descartes

Messagepar fp » Jeudi 01 Avril 2010, 05:55

biskin81 a écrit:
balf a écrit:La règle des signes ne concerne que les racines réelles positives, et elle donne le nombre maximal de racines positives.

Oui mais c'est bien la partie réelle des racines qui est positive non ? Dans l'exemple donné ci-dessus, c'est le cas.
balf a écrit:Elle précise que le nombre effectif de racines positives a même parité que ce nombre maximal.

Que veux-tu dire par parité ?


Si ce nombre maximal est impair, alors le nombre de racines réelles positives est impair.

Si ce nombre maximal est pair, alors le nombre de racines réelles positives est pair.

Dans l'exemple que vous avez donné, le nombre maximal est 2, donc le nombre de racines réelles positives est 0 ou 2.

FP.
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Re: [Résolu] Règle des signes de Descartes

Messagepar biskin81 » Jeudi 01 Avril 2010, 07:12

Ahh d'accord !
Simple dernière précision pour être sûr : si j'ai un polynôme d'ordre 3 et que le nombre de changement de signes est de 1. Le nombre de racines réelles positives sera soit de 1 alors c'est bien ça ? Il ne pourrait pas être de 3 (qui est impair) puisque le nombre de changement de signe est de 1, c'est bien ça ?

Désolé je chipote mais je veux être sûr ! :)
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