Question un peu bete

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Question un peu bete

Messagepar Matt » Mardi 28 Mars 2006, 11:42

salut !

Je me posais une question toute bete :

Comment sait on que - * (fois) - = + ?
Jveux dire, comment sait on que lorsque on multiplie deux nombres négatifs, on tombe sur un nombre positif ?
Existe il une démonstration ?

Je sais que ma question est assez "niaise",mais je me pose souvent des questions, et j'aime bien connaitre leurs réponses !

Merci d'avance
Matt
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Messagepar MB » Mardi 28 Mars 2006, 12:49

Peut-être car l'opposé de l'opposé d'un nombre est le nombre lui-même.
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Messagepar rebouxo » Mardi 28 Mars 2006, 13:33

C'est une très bonne question. Elle n'est pas bête du tout, au contraire.

Je ne sais pas si c'est très convaincant mais voilà ce que je dirais. Peut-être quelqu'un a-t-il quelque chose de plus convaincant :

Soit $a$ et $b$ deux nombres positifs. Calculons
$(-a)\times (-b) - a \times b = (-a)\times (-b) + (-a)\times b $ : enlever un nombre c'est ajouté son opposé.

$(-a)\times (-b) - a \times b = -a \times (-b+b) = -a \times 0 = 0 $, donc
$(-a)\times (-b) = a \times b $. Le produit de deux nombres négatifs est donc positif.


Est-ce clair ?

J'en ai une autre, qui repose sur le développement de $(a+b)\times (c+d)$.
Dernière édition par rebouxo le Mardi 28 Mars 2006, 18:55, édité 1 fois.
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Messagepar sotwafits » Mardi 28 Mars 2006, 13:45

On peut écrire : $(-a)\times(-b)=-[a\times(-b)]=-[-(a\times b)]=a\times b$

Mais vous allez me répondre : pourquoi peut-on sortir le signe $-$ d'une multiplication ? par exemple, pourquoi $a\times(-b)=-(a\times b)$ ? :lol:
Jusqu'où peut-on pousser la justification ?

On peut tout démontrer toutes ces petites propriétés à partir des axiomes d'anneau (en n'admettant rien d'autre) :
  1. Commutativité de $+$ : $a+b=b+a$
  2. Associativité de $+$ : $a+(b+c)=(a+b)+c$
  3. Existence d'un élément neutre (noté $0$) pour $+$ : $a+0=a$ (et $0+a=a$, mais ça découle de 1.)
  4. Existence pour tout élément $a$ d'un symétrique pour $+$ appelé opposé de $a$ et noté $-a$, qui vérifie $a+(-a)=0$
  5. Associativité de $\times$ : $a\times(b\times c)=(a\times b)\times c$
  6. Distributivité de $\times$ par rapport à $+$ : $a\times(b+c)=a\times b+a\times c$ et $(a+b)\times c=a\times b+a\times c$

On peut commencer par démontrer à partir de ces axiomes que pour tout $a$, $a\times 0=0$

Il faut partir de $a\times(0+b)$ et le calculer de 2 façons :
D'une part, $a\times(0+b)=a\times b$ d'après 3.
D'autre part, $a\times(0+b)=a\times0+a\times b$ d'après 6.
Donc $a\times b=a\times 0+a\times b$
En ajoutant aux deux membres $-(a\times b)$, on obtient $a\times 0=0$

Ensuite on calcule $a\times [b+(-b)]$ de 2 façons :
D'une part, $a\times[b+(-b)]=a\times 0=0$ d'après ce qui précède.
D'autre part, $a\times[b+(-b)]=a\times b+a\times(-b)$

Ce qui montre que $a\times b+a\times(-b)=0$, donc que $a\times(-b)=-(a\times b)$

On fait pareil de l'autre côté : $(-a)\times b=-(a\times b)$
sotwafits
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Messagepar Matt » Mercredi 29 Mars 2006, 10:59

merveileux, comme démonstrations !

merci à tous ! :D :D :D
Matt
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