Question topologie : ouvert dense et points isolés

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Question topologie : ouvert dense et points isolés

Messagepar nirosis » Vendredi 19 Mai 2006, 18:33

Salut, j'ai une question de topologie...

Est-ce qu'il existe une propriété sur la dénombrabilité des points isolés du complémentaire d'un ouvert dense de $[0,1]$ ?

Par exemple, avez-vous un contre-exemple où le complémentaire d'un ouvert dense de $[0,1]$ aurait une infinité non dénombrable de points isolés ?

J'ai regardé un peu avec les rationnels ou le Cantor mais... mes souvenirs de topo sont flous...
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Messagepar sotwafits » Dimanche 21 Mai 2006, 21:12

Je pense que la réponse est négative :

Il n'existe pas de sous-ensemble de $[0,1]$ (ou de $\R$), non dénombrable, tel que tout point soit isolé

Démonstration : soit $I$ un sous-ensemble de $[0,1]$ dont tout point est isolé.

Alors pour tout $x\in I\setminus\{\sup I\}$, définissons $d(x)=\inf(y-x\,/\, y>x,\, y\in I)$.
$d(x)$ est la distance entre $x$ et le "point suivant $x$ dans $I$".
Comme tout point de $I$ est isolé, on a $d(x)>0$.

Or les intervalles $]x,x+d(x)[$ sont 2 à 2 disjoints par construction, et inclus dans $[0,1]$, donc la famille $\{d(x)\,/\, x\in I\}$ est sommable et sa somme est $\le 1$

Donc l'ensemble des $x$ pour lesquels $d(x)>0$ est dénombrable. Or cet ensemble est $I\setminus\{\sup I\}$, donc $I$ est dénombrable.

En utilisant le fait qu'une réunion dénombrable d'ensembles dénombrables est dénombrable, on peut remplacer $[0,1]$ par $\R$.

J'espère ne pas m'être trompé

Question subsidiaire : ce résultat reste-t-il vrai si on remplace $\R$ par n'importe quel ensemble topologique séparable ? Je pense que oui
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Messagepar sotwafits » Dimanche 21 Mai 2006, 21:20

:oops: Je viens de m'apercevoir que ce n'est pas exactement à ta question que j'ai répondu.

Mais en adaptant ma démo il est facile de répondre (négativement) à ta question :

L'ensemble des points isolés d'un sous-ensemble de $[0,1]$ (ou de $\R$) est au plus dénombrable

C'est aussi basé sur le fait qu'une famille sommable est au plus dénombrable
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Messagepar nirosis » Lundi 22 Mai 2006, 08:00

Un grand merci Sotwafits !! :D
J'avais rien trouvé sur internet à ce sujet... Du coup c'est vraiment sympa de m'apporter la solution. C'etait un morceau dans un raisonnement que je ne saisissais pas.... Encore merci.
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Messagepar pb » Lundi 22 Mai 2006, 23:44

Autre réponse :
(1) - L'ensemble des points isolés d'un espace topologique est un espace topologique discret (pour la topologie induite).
(2) - Un sous-espace d'un espace topologique séparable métrisable est séparable.
(3) - Un espace topologique discret et séparable est dénombrable.

(1) et (3) sont évident. On est ainsi ramené au (2) qui est classique. On peut généraliser métrisable par : tout point a un système fondamental dénombrable de voisinages. Mais je pense qu'une hypothèse est nécessaire.

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