Question sur les groupes

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Question sur les groupes

Messagepar themoskito » Lundi 20 Août 2007, 10:02

bonjour, j'ai un petit doute sur un résultat, j'espère que vous m'aiderez :

soit $G$ un groupe, et $H$ un sous groupe de $G$ , $a$ et $b$ deux éléments de $G$ .
a-t-on l'implication suivante : $aH=bH$ entraine $a=b$

Je n'arrive pas a le démontrer en tout cas, donc je pense que c'est faux... Mais j'ai trouvé un exercice qui utilise un résultat analogue, mais sans détailler ce qui suppose que j'ai probablement fait une erreur d'interprétation...

Je m'explique : On a la relation d'équivalence suivante $x \sim  y$ ssi $x^-^1y  \in H$ On sait que la classe d'équivalence de l'élément $a \in G$ est $aH$.
C'est à partir de là que j'ai un problème:

On considère les éléments $ah$ et $bh'$$a,b \in G$ et $h,h' \in H$ tels que $ah=bh'$. Donc $ah$ et $bh'$ appartiennent à la même classe d'équivalence. Ici on a le rappel : "les classes d'équivalence étant disjointes ou confondues" qui est censé permettre de conclure que $a=b$ mais je ne vois pas d'ou sort ce résultat si $aH=bH$ n'entraine pas $a=b$

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Re: Question sur les groupes

Messagepar MB » Lundi 20 Août 2007, 11:56

Bonjour,

Je déplace le sujet car il ne s'agit pas vraiment d'un exercice.

themoskito a écrit:Ici on a le rappel : "les classes d'équivalence étant disjointes ou confondues" qui est censé permettre de conclure que $a=b$


Tu peux préciser le contexte ?

Je ne pense pas que $aH=bH$ implique $a=b$.
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Messagepar themoskito » Lundi 20 Août 2007, 12:11

Je ne pense pas que $aH=bH$ implique $a=b$.


Non je ne pense pas non plus, c'est pour ca que je ne comprends pas la correction de l'exo.


On a un élément qui s'écrit de deux facons différentes : $ah=bh'$
Or $ah \in aH$ et $bh' \in bH$ donc cet élément $ah=bh' \in aH  \cap  bH$
Donc via la remarque sur les classes d'équivalences, comme $aH \cap  bH  \ne  \emptyset $ (vu qu'il contient un élément), alors j'en déduis que $aH=bH$. Mais ensuite d'après le livre, $a=b$ or je ne comprends pas d'où cela vient...



Je ne vois pas trop ce que je peux préciser sur le contexte... On a juste un groupe et un sous groupe, et une relation d'aquivalence.
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Messagepar MB » Lundi 20 Août 2007, 12:16

themoskito a écrit:Je ne vois pas trop ce que je peux préciser sur le contexte... On a juste un groupe et un sous groupe, et une relation d'aquivalence.


C'est quoi comme livre ?

Mais bon, si tu prends $a \in H$ et $b = a^{-1}$ (qui est donc aussi dans $H$). On a $aH=H$ et $bH=H$ donc $aH=bH$. Pourtant on ne peut pas conclure que $a=a^{-1}$.
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Messagepar Bruno » Lundi 20 Août 2007, 18:03

Ce serait bien de mettre l'exercice dans un message, car là il y a manifestement quelque chose qui ne va pas. Même si le groupe est commutatif : plaçons-nous dans $\Z$ :

Par exemple, $26 - 8 = 18$ donc $8 + 9\,\Z = 26 + 9\,\Z$ et manifestement, $8$ et $26$ sont distincts.

P.S. Impardonnable, j'ai omis "Bonjour " :oops:
Dernière édition par Bruno le Mardi 21 Août 2007, 06:43, édité 1 fois.
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Messagepar alexalaville » Lundi 20 Août 2007, 22:52

Cher themoskito,

Je ne peux que rejoindre l'avis de Bruno et te conseiller de joindre l'énoncé de l'exercice en question.

Ne travailles-tu pas sur les sous-groupes distingués ? Dans le cas contraire, que t'a-t-on demandé de montrer précédemment ?

Cordialement.
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Messagepar themoskito » Mardi 21 Août 2007, 13:59

je suis désolé j'ai fait une petite erreur :oops:
Merci pour vos réponses néanmoins...

En réalité dans l'exercice $a $et $b$ ne sont pas quelconques. Ils sont choisis au départ (axiome du choix) en tant que représentant d'une classe d'équivalence. On considère donc la classe $aH$ et la classe $bH$.
Comme il s'ensuit que les classes d'équivalence ne sont pas disjointes alors $aH=bH$ ce qui entraine $a=b$ .


Sous groupe distingué cela ne me dit rien... Il s'agissait de montrer la propriété suivante :
Soit $K$ et $H$ deux sous groupes de $G$ tels que $K \subset H  \subset G$. On suppose l'indice de $G$ modulo $K$ définit (donc le nombre de classe d'équivalence pour la relation $x \sim y$ ssi $x^-^1y \in K$ est fini) noté $(G:K)$ et on a $(G:K)=(G:H)(H:K)$

Désolé pour le dérangement^^
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Messagepar alexalaville » Mardi 21 Août 2007, 23:16

Bonjour,

Personnellement, themoskito, je n'ai pas tout suivi... mais si tu arrives à te comprendre toi-même, c'est le plus important ;-) !

Alexandre.
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