Question qui m'angoisse

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Question qui m'angoisse

Messagepar khunlun » Vendredi 06 Octobre 2006, 15:12

Une petite question me turlupine.

1 est-il premier ?

Il est divisible seulement par lui-même et l'unité (à savoir lui-même).
Mais s'il l'est la décomposition en nombre premier n'est pas unique.
Vu que 6 = 3*2 ou 3*2*1 ou 3*2*1*1 etc...

Pourriez-vous sauver mes nuits et ma vie ?
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Messagepar Arnaud » Vendredi 06 Octobre 2006, 15:34

Non ( en tout cas pas pour moi ).

Un nombre premier est un nombre tel que l'ensemble de ces diviseurs dans $\N$ a pour cardinal 2.
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Messagepar kilébo » Vendredi 06 Octobre 2006, 16:25

En fait, 1 n'est pas premier. L'explication réelle n'est pas simple à expliquer à moins que tu aies des notions sur les anneaux et surtout les idéaux.

Si tout cela ne te parle pas, tu peux considérer que, par convention, les nombres premiers sont les nombres $\geq 2$ qui ne sont divisibles que par 1 et par eux mêmes (ou la définition d'Arnaud qui est tout aussi exacte :D).
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Messagepar François D. » Vendredi 06 Octobre 2006, 16:56

Tiens, la définition faisant appel aux anneaux et idéaux m'intéresse :) : ça doit faire appel à la notion d'idéal premier, mais mes souvenirs sont très vagues, et je ne vois plus en quoi, dans le cas de $\mathbb{N}$, ça exclut 1.
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Messagepar la main gauche » Vendredi 06 Octobre 2006, 16:58

Les nombres premiers sont intéressants pour comprendre la relation de divisbilité (a divise b ssi b est multiple de a), et comme 1 divise tout le monde il n'est pas très intéressant pour cette relation.

De façon un peu moins fumeuse, on sait qu'un nombre entier se factorise de façon unique en produit de nombres premiers (à ordre près parceque $ab=ba$). Par exemple

$$
 18 = 2 \times 3^2
 $$


(existence) et si

$$
 18 = A^a B^b \dots
 $$


avec $A, B,\dots$ nombres premiers (dans l'ordre croissant, cf. $ab=ba$) et $a,b,\dots$ des nombres entiers, alors $A =2, B=3$ et $a=1, b=2, c=0, d=0, \dots$ (unicité)

Si on convenait de dire que 1 est un nombre premier, l'énoncé de cette propriété d'unicité serait un peu plus compliqué, ainsi que l'énoncé de beaucoup de théorèmes d'arithmétique. Il est donc sage de convenir que $1$ n'est pas un nombre premier, même lorsqu'on n'a jamaise entendu parler d'anneau factoriel.
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Messagepar jobherzt » Vendredi 06 Octobre 2006, 19:47

effectivement, intuitivement c'est pour garder la notion d'unicité de la decomposition. accessoirement, cela permet la definition sobre dun premier : un nombre est dit premier s'il possede exactement 2 diviseurs positifs.
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1 n 'est pas premier

Messagepar michelll » Dimanche 08 Octobre 2006, 15:57

Par définition un nombre est premier s'il est plus grand que 2 et n'est divisible que par 1 et lui meme.
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Messagepar jobherzt » Dimanche 08 Octobre 2006, 16:00

oui, michell, mais on n'a pas posé cette définition au hasard. c'est interressant aussi de voir quel probleme ca pose de considerer que 1 est premier. d'ailleurs, tu aurais du preciser "plus grand ou égal à 2"..
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Messagepar michelll » Dimanche 08 Octobre 2006, 16:19

C'est simplement une convention. Si tu considères que 1 est premier il faut redefinir/alourdir la definition de decomposer en nombre premiers... et alourdir les enonces des theoremes faisant intervenir les nombres premiers en remplacant "nombre premier" par "nombre premier different de 1". Il n' y a vraiment rien de mathematiquement profond derriere cette convention.

...
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Messagepar jobherzt » Dimanche 08 Octobre 2006, 16:28

ben non, et c'est un peu ce qu'on dit depuis le debut du post :twisted:
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pfff

Messagepar michelll » Dimanche 08 Octobre 2006, 16:37

Ok, formule donc une question précise ?
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Messagepar jobherzt » Dimanche 08 Octobre 2006, 16:40

euh.. pourquoi j'aurais une question a poser ?
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masturbation intellectuelle (suite)

Messagepar michelll » Dimanche 08 Octobre 2006, 17:24

En mathématiques, il y a des conventions de bon sens.
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Messagepar Arnaud » Dimanche 08 Octobre 2006, 19:51

Sur un forum aussi, notamment lire le début d'un post.

Depuis le début les gens expliquent que le problème avec $1$ est la perte d'unicité de la décomposition en facteurs premiers, donc je trouve superflu de ramener le même argument à quelqu'un qui l'a déjà fait remarquer.

De plus la question qui se pose n'est pas simplement pour l'arithmétique dans $\N$, mais surtout mais les problèmes d'idéaux que cela engendre.
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Masturbation intellectuelle Partie 2

Messagepar michelll » Dimanche 08 Octobre 2006, 21:16

Avant d'introduire les idéaux premiers on s'est déjà intéressé aux nombres de billes que l'on ne peux pas disposer en rectangle non triviaux!

"Depuis le début les gens expliquent que le problème avec est la perte d'unicité de la décomposition en facteurs premiers, donc je trouve superflu de ramener le même argument à quelqu'un qui l'a déjà fait remarquer. "

J'ai bien compris. Dans tous les cas tous les théorèmes restent valables avec alourdissement des énoncés (pas très bien vu en math !) lorsque 1 est considéré comme premier.
Il n'y aura pas "naissance" de nouvelles consequences mathématiques si l'on suppose 1 premier !
C'est pas la peine d'en faire une thèse...

"De plus la question qui se pose n'est pas simplement pour l'arithmétique dans , mais surtout mais les problèmes d'idéaux que cela engendre. "

De quels pbs d'idéaux parles-tu ? Les idéaux contenant 1 sont peu intéressants. La définition d'idéal premier exclut le fait que 1Z est premier dans le cas de Z; mais c'est encore une convention de bon sens pour ne pas contredire la première convention (que 1 n'est pas premier!).

...
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Messagepar Arnaud » Dimanche 08 Octobre 2006, 21:31

Sinon la propriété : "Le quotient d'un anneau par un idéal maximal est un groupe" n'est plus vraie.

Il n'y aura pas "naissance" de nouvelles consequences mathématiques si l'on suppose 1 premier !


Voir ce que je dis plus haut. Et je pense, bien que pas spécialiste dans l'arithmétique avancée, qu'il devrait y avoir d'autres conséquences moins évidentes.

Merci d'utiliser LaTeX pour améliorer la lisibilité des messages ( convention du forum ) :wink:
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Messagepar kilébo » Dimanche 08 Octobre 2006, 21:53

François D. a écrit:Tiens, la définition faisant appel aux anneaux et idéaux m'intéresse :) : ça doit faire appel à la notion d'idéal premier, mais mes souvenirs sont très vagues, et je ne vois plus en quoi, dans le cas de $\mathbb{N}$, ça exclut 1.


En fait, c'est reculer pour mieux sauter : $1$ n'est pas premier car $1.\Z$ n'est pas, par convention, un idéal premier. Et cela car $\Z/\Z = {0}$ n'est pas, par convention encore, un anneau intègre (il n'a pas plus son unité).

Il n'en reste pas moins que la raison la plus simple à comprendre, c'est que l'on exclu les nombres inversibles (comme 1) afin d'obtenir une décomposition unique à inversibles près.
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Messagepar Arnaud » Dimanche 08 Octobre 2006, 21:57

kilébo répète ce que je viens de dire avec d'autres mots :D
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Messagepar nirosis » Dimanche 08 Octobre 2006, 22:05

Et puis si Euclide, Gauss entre autres ont décidé que 1 ne serait pas premier, c'est qu'il y a surement de bonnes raisons. C'etaient quand même les boss de l'arithmétique !
On peut voir ça comme une convention "de bon sens", mais c'est sans doute la vision la plus simpliste. C'est plutôt la définition "optimale" (pour la théorie de l'arithmétique) qu'on peut faire d'un nombre premier.
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Messagepar michelll » Dimanche 08 Octobre 2006, 23:19

1) Cher Arnaud :
"Sinon la propriété : "Le quotient d'un anneau par un idéal maximal est un groupe" n'est plus vraie. "

Tu veux dire "Le quotient d'un anneau commutatif unitaire par un idéal maximal est un corps" n'est plus vraie. "
Tu ne te rends peut etre pas compte mais tu es entrain de contredire un théorème ! :shock: et ceci indépendament du fait que 1 est premier ou non !!
Rappel : Un idéal M est maximal s'il est distinct de l'anneau A et si $I\supset M$ est un idéal alors $I=A$ ou $I=M$.

2) Cher kilébo :
Un idéal I de A (anneau commutatif unitaire) est premier si I distinct de A et si $ab \in I$ implique $a\in I$ ou $b\in I$. En particulier $\Z$ n'est pas premier dans $\Z$ !
(apres il y a un théorème qui dit que I est premier si et seulement si A/I est integre, mais c'est de la grosse artillerie pour dire que Z n'est pas premier...)

3) Nirosis ,
Parfois la raison est simple !
L'expérience montre que les définitions basées sur le bon sens sont les bonnes.

Encore une fois (après DODO) :
Le fait de considérer 1 premier ou pas ne change RIEN mathématiquement (modulo redéfinir certaines définitions en les rallongeant).

La nuit porte conseil, @+
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