Qu'est ce qu'une matrice symétrique positive ?

Discussions générales concernant les mathématiques.
[ce forum est modéré par les modérateurs globaux du site]
Règles du forum
Merci d'éviter le style SMS dans vos messages et de penser à utiliser la fonction Recherche avant de poster un message. Pour joindre des fichiers à vos messages, consulter ce sujet.
> Penser à utiliser le mode LaTeX (voir ici) afin de rendre vos formules plus lisibles.
> Pour obtenir de l'aide sur un exercice ou un problème, consulter cette section. (ce forum est destiné aux discussions plutôt théoriques)

Qu'est ce qu'une matrice symétrique positive ?

Messagepar Zaim KHELIFI » Samedi 11 Février 2006, 16:09

Hi,
On sait ce qu'est une matrice symetrique, on sait aussi ce qu'est une matrice définie ou semi-définie positive, mais je ne trouve pas des informations sur "une matrice symetrique positive" dans quelques dictionnaires de math que j'ai ni sur le net, alors qui peut m'aider à ce sujet ?
Merci.
Zaim KHELIFI
Déca-utilisateur
 
Messages: 25
Inscription: Jeudi 16 Juin 2005, 17:14
Localisation: Blida, ALGERIE

Publicité

Messagepar Tryphon » Samedi 11 Février 2006, 16:36

Donne tes définitions de définie et semi-définie positive, je pense qu'on va vite y voir plus clair.
Tryphon
Péta-utilisateur
 
Messages: 1840
Inscription: Mercredi 01 Juin 2005, 17:39
Localisation: Un peu plus à l'Ouest
Statut actuel: Actif et salarié | Enseignant

Messagepar WydD » Samedi 11 Février 2006, 20:43

Soit $E$ un espace euclidien munit du produit scalaire $( ... | ... )$

Un endomorphisme symétrique $u$ est dit positif (resp. définit positif) si $\forall x \in E$,

$(u(x) | x) \geq 0$
(resp. $(u(x) | x) > 0$, $\forall x \neq 0$)

Je suppose que A est une matrice symétrique positive si elle est issue d'un tel endomorphisme $u$, telle que : $A = \mathcal Mat_{\mathcal B} u$$\mathcal B$ est une base orthonormée.
Il n'y a pas besoin d'être fils spirituel de Gauss, Cantor et Euler pour montrer que cette série diverge ...
WydD
Déca-utilisateur
 
Messages: 43
Inscription: Mercredi 04 Janvier 2006, 23:46

Messagepar MB » Dimanche 12 Février 2006, 00:35

WydD a écrit:Je suppose que A est une matrice symétrique positive si elle est issue d'un tel endomorphisme $u$, telle que : $A = \mathcal Mat_{\mathcal B} u$$\mathcal B$ est une base orthonormée.


En effet, cette notion n'est pas lié à une base et, initialement, n'est même pas lié à un endomorphisme mais à une forme bilinéaire. Si $E$ est un espace vectoriel de dimension finie sur $\R$ et si $f$ est une forme bilinéaire de $E \times E$ dans $\R$ alors on a :

  • $f$ est symétrique, si pour tout couple $(x,y)$ : $f(x,y) = f(y,x)$.
  • $f$ est antisymétrique, si pour tout couple $(x,y)$ : $f(x,y) = -f(y,x)$.
  • $f$ est alternée, si pour tout $x$ : $f(x,x) = 0$.
  • $f$ est positive, si pour tout $x$ : $f(x,x) \geq 0$.
  • $f$ est définie, si $f(x,x)=0$ entraîne $x=0$.
  • $f$ est définie positive, si $f$ est définie et positive.
  • $f$ est non dégénérée, si $f(x,y)=0$ pour tout $y$ entraîne $x=0$.


Dans une certaine base, $M$ est la matrice de $f$ si $f(x,y)= {}^t \! XMY$. On peut alors dire que $M$ est définie positive.
MB
Administrateur
 
Messages: 6861
Inscription: Samedi 28 Mai 2005, 13:23
Localisation: Créteil
Statut actuel: Actif et salarié | Enseignant

Messagepar P.Fradin » Dimanche 12 Février 2006, 09:59

On peut signaler aussi qu'il y a équivalence entre alternée et antisymétrique lorsque la corps de base n'est pas de caractéristique 2, ce qui est le cas de $\R$.
P.Fradin
 

Messagepar MB » Dimanche 12 Février 2006, 11:55

P.Fradin a écrit:On peut signaler aussi qu'il y a équivalence entre alternée et antisymétrique lorsque la corps de base n'est pas de caractéristique 2, ce qui est le cas de $\R$.


Oui, en effet, c'est vrai que je m'étais placé dans $\R$ directement. :wink:
MB (Pas d'aide en Message Privé)
Merci d'utiliser $\LaTeX$ (voir ici) et d'éviter le style SMS pour la lisibilité des messages.
MB
Administrateur
 
Messages: 6861
Inscription: Samedi 28 Mai 2005, 13:23
Localisation: Créteil
Statut actuel: Actif et salarié | Enseignant

Messagepar WydD » Dimanche 12 Février 2006, 20:59

Je suis d'accord, je maitrise pas encore le chapitre, on vient de le faire ...
Il n'y a pas besoin d'être fils spirituel de Gauss, Cantor et Euler pour montrer que cette série diverge ...
WydD
Déca-utilisateur
 
Messages: 43
Inscription: Mercredi 04 Janvier 2006, 23:46


Retourner vers Tribune des mathématiques

 


  • Articles en relation
    Réponses
    Vus
    Dernier message

Qui est en ligne

Utilisateurs parcourant ce forum: Aucun utilisateur enregistré et 2 invités