[Algèbre] Puissance d'un idéal

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[Algèbre] Puissance d'un idéal

Messagepar fractalux » Jeudi 10 Avril 2008, 10:49

Bonjour,
en algèbre, je ne suis pas sur de la définition de la "puissance" d'un idéal.

A-t-on :

${\mathfrak{A}^n} = \{ a\in A, a^n\in \mathfrak{A}\}$

et dans ce cas, $\mathfrak{A}^n \supset \mathfrak{A}$

ou alors :

${\mathfrak{A}^n} = \{ a \alpha^n, a \in A, \alpha\in\mathfrak{A}\}$

et dans ce cas, $\mathfrak{A} \supset \mathfrak{A}^n$

ou autre chose...

Remarque : Dans mon cours, il est notamment dit que : $r(\mathfrak{p}^n) = \mathfrak{p} \text{ si } \mathfrak{p}$ est premier, avec $r({\mathfrak{A}}) = \{a\in A, \exists n, a^n\in{\mathfrak{A}\}.$
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Re: (algèbre) puissance d'un idéal

Messagepar balf » Jeudi 10 Avril 2008, 13:14

Ni l'un, ni l'autre. Une puissance d'un idéal est un cas particulier de produit d'idéaux : si $\mathfrak{a}, \mathfrak{b}$ sont deux idéaux d'un anneau commutatif, leur produit $\mathfrak{a}\cdot\mathfrak{b}$ est l'idéal engendré par les produits $ab$, où $a\in\mathfrak{a}$ et $b\in \mathfrak{b}$. Ces produits ne constituent pas, en général, un idéal (ce n'est pas stable par addition) et l'idéal engendré est donc l'ensemble des sommes finies de tels produits.
Bien sûr, si on a un idéal principal $aA$, alors $(aA)^n=a^n A$, mais en général il est faux que
$\mathfrak{a}^n$ soit engendré par les puissances d'éléments de $\mathfrak{a}$ ; par exemple, dans $K[X,Y]$, on a $(X,Y)^2=(X^2, XY, Y^2)$, qui contient strictement $(X^2, Y^2)$
Pour la remarque finale, la racine d'une puissance d'un idéal premier est égale à cet idéal premier, cela tient au fait que l'idéal soit premier : vous avez dû voir que la racine d'un idéal est l'intersection de tous les idéaux premiers qui le contiennent. Or on a l'équivalent du lemme de Gauss pour les idéaux premiers : si un idéal premier contient un produit d'idéaux, il contient forcément l'un d'eux. Donc s'il contient une puissance de $\mathfrak{p}$, il contient $\mathfrak{p}$, et l'intersection de tous ces idéaux premiers est donc $\mathfrak{p}$ lui-même.

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Re: (algèbre) puissance d'un idéal

Messagepar fractalux » Jeudi 10 Avril 2008, 13:40

Ok, j'ai compris. Merci beaucoup !
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