Primitives, intégrales et dérivées

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Primitives, intégrales et dérivées

Messagepar MB » Mardi 21 Juin 2005, 18:51

On sait que si une fonction $F$ est fonction définie sur un segment $[a,b]$, alors il existe une fonction $f$ intégrable sur $[a,b]$ (au sens de Lebesgue) telle que pour tout $x \in [a,b]$, $F(x)-F(a) = \ds\int_a^x f(t) dt$ si et seulement si $F$ est absolument continue sur $[a,b]$.

Maintenant, on considère une fonction $f$ intégrable sur $[a,b]$ (au sens de Lebesgue) et on définit la fonction $F$ sur $[a,b]$ par : $F(x) = \ds\int_a^x f(t) dt$. On sait donc que $F$ est absolument continue. Les questions sont :

1) A quelles conditions (sur $f$) la fonction $F$ est-elle dérivable ?
2) Quelles conditions supplémentaires (sur $f$) faut-il ajouter pour que sa dérivée soit $f$ ?

Pour la question 2, on sait déjà que $f$ doit vérifier le théorème des valeurs intermédiaires (comme toute fonction dérivée) : c'est donc une condition nécessaire (mais qui n'est pas suffisante). De même, le fait que $f$ soit continue est une condition nécessaire mais non suffisante.

La fonction $f$ doit être intégrable, vérifier un peu plus que le théorème de valeurs intermédiaires sans pour autant devoir être continue. Peut-on trouver une caractérisation plus précise de ce type de fonctions ?
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Messagepar Tryphon » Mardi 21 Juin 2005, 21:01

Regarde du côté des fonctions à variations bornées, ça évoque un lointain souvenir chez moi. Je jetterais bien un oeil dans l'Analyse Réelle et Complexe de Rudin, mais on me l'a piqué...
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Messagepar P.Fradin » Mardi 21 Juin 2005, 21:21

J'ai une traduction du Rudin sous les yeux:

Si $f$ est Lebesgue-intégrable sur $[a;b]$ et si $F(x)=\ds \int_a^x f(t)\,dt$, alors $F'(x)=f(x)$ presque partout dans $[a;b]$.

Réciproquement, si $F$ est dérivable partout dans $[a;b]$ et si $F'$ est Lebesgue- intégrable, alors $F(x)-F(a)=\ds \int_a^xF'(t)\,dt$.
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Messagepar MB » Mardi 21 Juin 2005, 22:31

Si $f$ est Lebesgue-intégrable sur $[a;b]$ et si $F(x)=\ds \int_a^x f(t)\,dt$, alors $F'(x)=f(x)$ presque partout dans $[a;b]$.


Oui, $F$ est presque partout dérivable (car une fonction absolument continue est dérivable presque partout). Je voudrais que $F$ soit partout dérivable (pour la première question).

Réciproquement, si $F$ est dérivable partout dans $[a;b]$ et si $F'$ est Lebesgue- intégrable, alors $F(x)-F(a)=\ds \int_a^xF'(t)\,dt$.


Oui, si mes souvenirs sont bons, c'est le théorème fondamental du calcul intégral.

Je précise ma seconde question, qui est finalement : sous quelles conditions une fonction intégrable est-elle une dérivée (car on sait que si c'est une dérivée, alors sa primitive sera $F(x) = \ds\int_a^x f(t) dt$) ?

On sait que le fait de vérifier la propriété des valeurs intermédiaires est nécessaire (mais n'est pas suffisant) alors que la continuité est suffisante (mais pas nécessaire). Y-a-t'il des résultats plus fins ?

[Edit] Exemple d'une fonction intégrable, non continue et qui est une dérivée (et qui vérifie donc la propriété des valeurs intermédiaires) : La fonction $f$ telle que $f(0)=0$ et définie sur $]0;1]$ par $f(x)=2x sin \left( \dfrac{1}{x} \right)-cos \left( \dfrac{1}{x} \right)$. Il s'agit de la dérivée de $F$ telle que $F(0)=0$ et définie sur $]0;1]$ par $F(x)=x^2 sin \left( \dfrac{1}{x} \right)$. $f$ est bien une dérivée intégrable non continue.
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Messagepar P.Fradin » Mercredi 22 Juin 2005, 09:52

MB a écrit:Je précise ma seconde question, qui est finalement : sous quelles conditions une fonction intégrable est-elle une dérivée (car on sait que si c'est une dérivée, alors sa primitive sera $F(x) = \ds\int_a^x f(t) dt$) ?

On sait que le fait de vérifier la propriété des valeurs intermédiaires est nécessaire (mais n'est pas suffisant) alors que la continuité est suffisante (mais pas nécessaire). Y-a-t'il des résultats plus fins ?


Je n'ai rien trouvé de mieux dans mes autres bouquins, je pense qu'il est sans doute très difficile (impossible?) de se passer du presque partout tout en restant dans la généralité. :roll:
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Messagepar MB » Mercredi 22 Juin 2005, 17:53

Des résultats plus fins doivent quand même exister. Il semble que Gustave Choquet, élève de d'Arnaud Denjoy (celui des intégrales), ai démontré dans sa thèse (en 1946), le résultat suivant : Si $f$ est une fonction de $[0;1]$ dans $\R$, limite (simple) d'une suite de fonctions continues et vérifiant la propriété des valeurs intermédiaires, alors il existe une fonction continue strictement croissante $\alpha$ telle que $f \circ \alpha$ soit une dérivée. (source : ici pages 7-8)

Rappel : Une fonction $f$ est intégrable sur $[a;b]$ (au sens de Denjoy) si il existe une fonction $F$, presque partout dérivable sur $I$, et telle que $F'(x)=f(x)$ pour presque tout $x$ de $[a;b]$. (voir ici au chapitre 10 pour plus de détails)
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