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Messagepar Petite Souris » Lundi 27 Juin 2005, 12:01

Bonjour !

Je me permets de vous poser une question sur le ppcm (après le pgcd fallait bien que le ppcm me pose aussi problème :oops: )

Moi j'ai la définition de ppcm(a,b) pour a,b deux entiers naturels non nuls qui est le plus petit multiple commun à a et b.

Mais qu'en est-il de ppcm(a,0) (pour a non nul) et de ppcm(0,0) ?

Merci d'avance pour vos réponses !
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Messagepar Nightmare » Lundi 27 Juin 2005, 12:32

Bonjour :)

En utilisant la définition :

$PPCM(a,b)\times PGCD(a,b)=ab$ je pense que c'est vite réglé ;)

:)
Jord
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Messagepar Tryphon » Lundi 27 Juin 2005, 12:34

Ce n'est pas une définition, c'est un théorème, Nightmare.

En Arithmétique, on ne considère (quasiment) jamais l'entier 0. Il est notamment exclus des définitions de pgcd et ppcm.

Maintenant, d'après ta définition, ppcm(a,0) serait égal à 0, non ? (mais je répète : ça ne sert à rien, et en général on ne définit pas ppcm(a,0) )
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Messagepar Nightmare » Lundi 27 Juin 2005, 12:39

Oups , autant pour moi Tryphon :oops:
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Messagepar Tryphon » Lundi 27 Juin 2005, 12:52

Tout le plaisir est pour moi. J'aime bien te reprendre :D
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Messagepar Petite Souris » Lundi 27 Juin 2005, 12:53

Pour ppcm(a,o) ça marche en utilisant le théorème rappelé par Nightmare. Mais pas pour ppcm(0,0). Parce que par convention on a pgcd(0,0)=0 donc ppcm(0,0) peut valoir tout et n'importe quoi... :?

Je sais que ma question est un peu tordue car comme le dit Tryphon on ne définit pas en général ppcm(a,b) pour des entiers nuls.
Mais le problème c'est que je prépare le CAPES et il y a deux ans j'ai un copain qui l'a passé et à l'oral il est tombé sur la leçon sur le pgcd qu'il avait défini pour a et b non nuls. Mais le jury lui a demandé ce qu'il en était de pgcd(a,0) et pgcd(0,0).
Alors comme là je préparais la leçon sur le ppcm je me suis dit que la même question pouvait être posée. C'est pour ça que je vous ai demandé votre avis. :wink:

Donc pour revenir sur ppcm(0,0), est-ce qu'on peut dire comme pour le pgcd que par convention on le pose égal à 0 ?
Merci de votre aide !
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Messagepar Tryphon » Lundi 27 Juin 2005, 13:11

M'est avis qu'il vaut mieux prendre alors pour définitions :
<center>$a\Z\cap b\Z=ppcm(a,b)\Z$</center>
et :
<center>$a\Z+b\Z = pgcd(a,b)\Z$</center>
auquel cas, en suivant ces définitions, on a pgcd(0,0)=0 et ppcm(0,0)=0.
Dernière édition par Tryphon le Lundi 27 Juin 2005, 13:12, édité 1 fois.
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Messagepar MB » Lundi 27 Juin 2005, 13:11

Petite Souris a écrit:Donc pour revenir sur ppcm(0,0), est-ce qu'on peut dire comme pour le pgcd que par convention on le pose égal à 0 ?


Si on me pose la question, je dirais en effet que $ppcm(0,0)=0$ puisque le seul multiple est 0. De plus, pour tout entier $a > 0$, $ppcm(a,a)=a$. Par contre, l'intérêt d'une telle définition est assez limité.
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Messagepar Petite Souris » Lundi 27 Juin 2005, 13:16

Merci pour vos réponses complètes et rapides ! :D
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