Polynômes orthogonaux: définition propriété interprétation

Discussions générales concernant les mathématiques.
[ce forum est modéré par les modérateurs globaux du site]
Règles du forum
Merci d'éviter le style SMS dans vos messages et de penser à utiliser la fonction Recherche avant de poster un message. Pour joindre des fichiers à vos messages, consulter ce sujet.
> Penser à utiliser le mode LaTeX (voir ici) afin de rendre vos formules plus lisibles.
> Pour obtenir de l'aide sur un exercice ou un problème, consulter cette section. (ce forum est destiné aux discussions plutôt théoriques)

Polynômes orthogonaux: définition propriété interprétation

Messagepar aze321 » Jeudi 25 Mars 2010, 09:34

J'étudie actuellement les polynômes orthogonaux et je me pose beaucoup de question pouvez-vous m'apporter vos réponses et me dire si ce que je pense est correcte :

Deux polynômes, p et q d'une suite sont orthogonaux si leur produit scalaire est nul <p|q>=0 (le produit scalaire=forme bilinéaire symétrique positive définie).

Le produit scalaire de fonctions peut donc être l'intégrale du produit de ces fonctions $\langle p,q \rangle=\int_{x_1}^{x_2} p(x)q(x)\,dx$ car
-c'est le plus simple à calculer,
-on peut définir un intervalle d'orthogonalité correspondant aux bornes de l'intégrale.

1) Existe-t-il une autre forme que l'intégrale du produit de des fonctions des polynômes qui permet de calculer le produit scalaire de deux polynômes?
1.1) J'ai cru comprendre que si 2 polynômes P et Q sont orthogonaux alors P²+Q²=(PQ)² est-ce que la réciproque est vrai? Le cas échéant, est-ce que P²+Q²-(PQ)² peut être utilisée pour calculer le produit scalaire (il me semble que non car P²+Q²-(PQ)² n'est pas de forme bilinéaire)?

2) Peut-on donner une interprétation graphique deux polygones orthogonaux ou encore à une base vectorielle construire à partir de polynôme orthogonaux ?
(par exemple si on parle de 2 vecteurs orthogonaux, car leur produit scalaire est nul, alors on peut dire que leur représentation géométrique est symbolisée par deux segments perpendiculaires)
2.1) Par exemple, chaque axe représenterait un polynôme de la base et les valeurs sur chaque axe correspondraient aux valeurs des coefficients de ces polynômes. Le problème de cette interprétation, c'est qu'il serait impossible d'avoir des coefficients incluant l'indéterminé (par exemple dans la relation de récurrence $p_{n+1}\ =\ (a_nx+b_n)\ p_n\ -\ c_n\ p_{n-1}$ il serait impossible de positionner le coefficient $(a_nx+b_n)$ sur l'axe symbolisant le polynôme $p_n$).
2.2) Ou encore, chaque polynôme serait représenté par un vecteur dont l'origine serait "l'origine du repère" et le point d'arrivé "les coordonnées des polynômes" (ex: $p_2(x)=3x^2+1$ -> (3,0,1)). Le problème de cette interprétation, c'est que les vecteurs construits ainsi ne sont pas orthogonaux deux à deux (dans le cas des polynômes de Legendre, par exemple).

3) Tous polynômes $p_{n+1}$ d'une suite orthogonale peuvent s'obtenir par récurrence avec les deux polynômes de degrés inférieurs dans la suite, $p_{n}$ et $p_{n-1}$ par la relation suivante $p_{n+1}\ =\ (a_nx+b_n)\ p_n\ -\ c_n\ p_{n-1}$.
Comment fait-on pour trouver les valeurs des coefficients $a_n$, $b_n$ et $c_n$?

4) La propriété de récurrence des polynômes orthogonaux fait intervenir un facteur $x$ dans le coefficient $(a_nx+b_n)$, à partir de là, il me semble de manière intuitive qu'un polynôme pourrait s'exprimer dans une base vectoriel formée à partir de polynôme non orthogonaux.
Si c'est possible alors qu'elle est utilité que les polynômes, qui forment une base, soient orthogonaux?

5) Les zéros d'un polynôme orthogonal sont distincts.
Pouvez-vous me donner un exemple d'un polynôme non orthogonal ayant des zéros non distincts?

6) Dans l'intervalle dans lequel les polynômes sont orthogonaux, l'ensemble des zéros des polynômes est dense.
Dans le cadre des polynômes orthogonaux, quel critère permet de dire que l'ensemble des zéros est dense?
aze321
Utilisateur
 
Messages: 3
Inscription: Jeudi 25 Mars 2010, 03:57
Statut actuel: Post-bac

Publicité

Re: Polynômes orthogonaux: définition propriété interprétation

Messagepar Tonn83 » Vendredi 26 Mars 2010, 10:17

aze321 a écrit:1) Existe-t-il une autre forme que l'intégrale du produit de des fonctions des polynômes qui permet de calculer le produit scalaire de deux polynômes?

Le produit scalaire que tu as introduis dépend du segment $[x_1,x_2]$ sur lequel tu intègres. Pour différents choix de $x_1$ et $x_2$, $\langle P_1|P_2\rangle$ ne vaudra pas la même valeur. La véritable question est de savoir comment on peut définir un produit scalaire sur l'espace $\R[X]$ des polynômes à coefficients réels. Une possibilité est de se donner une fonction continue $f:[x_1,x_2]\rightarrow \R$ et de considérer le produit scalaire
$\langle P_1|P_2\rangle=\int_{x}^y P_1(t)P_2(t)f(t)dt$\, .

On n'est pas obligé de prendre un segment pour intervalle d'intégration. Les polynômes de Hermite sont définis en utilisant le produit scalaire
$\langle P_1|P_2\rangle=\int_{-\infty}^{\infty}P_1(t)P_2(t)e^{-t^2}dt$

1.1) J'ai cru comprendre que si 2 polynômes P et Q sont orthogonaux alors P²+Q²=(PQ)² est-ce que la réciproque est vrai?

Non Quel est le degré de $P^2$ ? De $P^2+Q^2$ ? De $(PQ)^2$ ?
Le cas échéant, est-ce que P²+Q²-(PQ)² peut être utilisée pour calculer le produit scalaire (il me semble que non car P²+Q²-(PQ)² n'est pas de forme bilinéaire)?

Je pense qu'il y a confusion. $|P|^2=\langle P|P\rangle$ désigne la norme au carré de $P$ et dépend de la manière dont tu as défini le produit scalaire. Néanmoins, on a : $|P+Q|^2-|P|^2-|Q|^2=2\langle P|Q\rangle$ (cette formule découle de la bilinéarité du produit scalaire).
----------------------------
Tonn83
Tonn83
Giga-utilisateur
 
Messages: 889
Inscription: Mercredi 05 Novembre 2008, 01:19
Localisation: Paris, France
Statut actuel: Actif et salarié | Enseignant

Re: Polynômes orthogonaux: définition propriété interprétation

Messagepar Tonn83 » Vendredi 26 Mars 2010, 10:27

aze321 a écrit:2) Peut-on donner une interprétation graphique deux polygones orthogonaux ou encore à une base vectorielle construire à partir de polynôme orthogonaux ?
(par exemple si on parle de 2 vecteurs orthogonaux, car leur produit scalaire est nul, alors on peut dire que leur représentation géométrique est symbolisée par deux segments perpendiculaires)

L'espace des polynômes à coefficients réels est de dimension infinie, sommes-nous d'accord ? On peut suggérer par un dessin des vecteurs orthogonaux. Si on se restreint à $\R_2[X]$ l'espace des polynômes de degré $\leq 2$, alors il est de dimension 3. Une base est donnée par $1$, $X$ et $X^2$. Tu peux éventuellement faire un dessin représentant $\R_2[X]$.
5) Les zéros d'un polynôme orthogonal sont distincts. Pouvez-vous me donner un exemple d'un polynôme non orthogonal ayant des zéros non distincts?

Tout polynôme à coefficient réel de degré $n$ a exactement $n$ racines complexes comptées avec multiplicité. Le polynôme $X^2$, par exemple, ne s'annule que pour $x=0$, mais c'est une racine "double", c'est à dire que 0 est à la fois racine de $P(X)=X^2$ et de $P'(X)=2X$. Si tu vois plutôt les choses à la physicienne, $P(X)$ est la limite de $X(X-\epsilon)$ quand $\epsilon\rightarrow 0$. A la limite, on obtient deux "racines confondues".
Si $(P_n)$ est une suite de polynômes orthogonaux, alors $P_n$ a exactement $n$ racines distinctes, ou si tu préfères $n$ racines simples, et elles sont toutes réelles.
----------------------------
Tonn83
Tonn83
Giga-utilisateur
 
Messages: 889
Inscription: Mercredi 05 Novembre 2008, 01:19
Localisation: Paris, France
Statut actuel: Actif et salarié | Enseignant


Retourner vers Tribune des mathématiques

 


  • Articles en relation
    Réponses
    Vus
    Dernier message

Qui est en ligne

Utilisateurs parcourant ce forum: Bing [Bot] et 2 invités