Polynôme irréductible

Discussions générales concernant les mathématiques.
[ce forum est modéré par les modérateurs globaux du site]
Règles du forum
Merci d'éviter le style SMS dans vos messages et de penser à utiliser la fonction Recherche avant de poster un message. Pour joindre des fichiers à vos messages, consulter ce sujet.
> Penser à utiliser le mode LaTeX (voir ici) afin de rendre vos formules plus lisibles.
> Pour obtenir de l'aide sur un exercice ou un problème, consulter cette section. (ce forum est destiné aux discussions plutôt théoriques)

Polynôme irréductible

Messagepar Pedro » Lundi 25 Juin 2007, 23:51

Bonsoir,

Pourriez vous me donner la définition exacte d'un polynôme irréductible dans $K[X]$.
et merci infiniment !!
Pedro
Kilo-utilisateur
 
Messages: 226
Inscription: Dimanche 27 Mai 2007, 17:45

Publicité

Messagepar Pedro » Mardi 26 Juin 2007, 00:17

je connais la définition d'un élément irréductible dans un anneau intègre $\ A $...
Définition:
Soit $\ A $ un anneau intègre:
Soit $\ p \in A $ :
$\ p $ est irréductible si et seulement si :
$\ p \not \in A^{*} $.
$\ \forall (a,b) \in A \times A : p = a.b  \Longrightarrow  a \in A^{*} $ ou $\  b \in A^{*} $.
Est ce que c'est la même chose ?!
et merçi infiniment !!!
Pedro
Kilo-utilisateur
 
Messages: 226
Inscription: Dimanche 27 Mai 2007, 17:45

Messagepar guiguiche » Mardi 26 Juin 2007, 07:17

Pedro a écrit:Est ce que c'est la même chose ?!
et merçi infiniment !!!

Oui, sachant que les inversibles sont les polynômes constants non nuls.
Pas d'aide par MP : les questions sont publiques, les réponses aussi.
Tu as apprécié l'aide qui t'a été fournie ? Alors n'hésite pas à rendre la pareille à quelqu'un d'autre.
Un peu d'autopromotion.
guiguiche
Modérateur
 
Messages: 8071
Inscription: Vendredi 06 Janvier 2006, 15:32
Localisation: Le Mans
Statut actuel: Actif et salarié | Enseignant

Messagepar jobherzt » Mardi 26 Juin 2007, 09:12

pour voir les choses de maniere moins abstraites : si $K$ est commutatif, alors $K[X]$ est euclidien, et donc entre autre principal et integre.

par ailleurs, tu as donc toujours une notion de division euclidienne, que tu as peut etre vue, qui fonctionne exactement de la meme maniere que pour les entiers. et donc comme tu l'as ecrit, les polynomes irréductibles sont ceux qu'on ne peut pas diviser par un autre polynome non constant. ce sont exactement les equivalents des nombres premiers, d'ailleurs tout polynome se factorise de maniere unique (a un inversible pres) en un produit de polynomes irreductibles.
jobherzt
Méga-utilisateur
 
Messages: 433
Inscription: Vendredi 13 Janvier 2006, 13:13

Messagepar Pedro » Mardi 26 Juin 2007, 19:17

Bonsoir:
j'ai une autre question à vous poser toujours sur le même sujet:
Posons : $\ I(a) = \{ P(a) / P \in K[X] \} $.
Ma question est :
Pourquoi si $\ a $ est algébrique alors $\ K(a) = K[a] \approx K[X]/I(a) $ ?
Pourriez vous me dire ce que désigne ce symbole : $\ \approx $ .. Est ce que c'est le signe d'isomorphisme .. comme $\ \cong $
et merçi infiniment !!
Pedro
Kilo-utilisateur
 
Messages: 226
Inscription: Dimanche 27 Mai 2007, 17:45

Messagepar Pedro » Mardi 26 Juin 2007, 20:27

désolé: $\ I(a) = \{ P \in K[X] / P(a) = 0 \} $
Pedro
Kilo-utilisateur
 
Messages: 226
Inscription: Dimanche 27 Mai 2007, 17:45

Messagepar Pedro » Mardi 26 Juin 2007, 20:29

J'ai oublié de preciser que $\ K(a) $ est le plus sous corps de $\ E $ contenant $\ K \bigcup \{ a\} $ et $\ K[a] $ est le plus petit anneau de $\ E $ contenant $\ K \bigcup \{ a\} $.
Pedro
Kilo-utilisateur
 
Messages: 226
Inscription: Dimanche 27 Mai 2007, 17:45

Messagepar Arnaud » Mardi 26 Juin 2007, 20:48

Oui le signe signifie isomorphisme.

Si $a$, il existe un polynôme $P$ irréductible s'annulant en $a$, et on en déduit que $I(a)$ est engendré par ce polynôme et donc que $I(a)$ est maximal, et donc que $K[X]/I(a)$ est un corps.

L'évaluation $P \rightarrow P(a)$ est clairement un isomorphisme de corps entre $K[X]/I(a)$ et $K(a)$. Comme $K(a)$ est un corps, $a$ est inversible, et son inverse s'exprime comme polynôme en $a$, donc $K(a)$ et $K[a]$ sont isomorphes.

Voilà en gros, si je ne me suis pas trompé.
Arnaud

Un peu d'info - Pyromaths
LaTeX - Exemples de formules LaTeX

Pas d'aide en MP (non plus)
Arnaud
Modérateur
 
Messages: 7115
Inscription: Lundi 28 Août 2006, 12:18
Localisation: Allemagne
Statut actuel: Actif et salarié | Enseignant

Messagepar jobherzt » Mercredi 27 Juin 2007, 00:32

Arnaud a écrit:L'évaluation $P \rightarrow P(a)$ est clairement un isomorphisme de corps entre $K[X]/I(a)$ et $K(a)$.


pour preciser un peu : l'application $P\rightarrow P(a)$ de $K[X]$ dans $K(a)$ est evidemment surjective, et son noyau est constitué par definition des polynomes envoyés sur 0, cad des polynomes qui s'annulent en $a$, d'ou acte.
jobherzt
Méga-utilisateur
 
Messages: 433
Inscription: Vendredi 13 Janvier 2006, 13:13


Retourner vers Tribune des mathématiques

 


  • Articles en relation
    Réponses
    Vus
    Dernier message

Qui est en ligne

Utilisateurs parcourant ce forum: Aucun utilisateur enregistré et 5 invités