Polynôme de Cantor

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Polynôme de Cantor

Messagepar chaltiel » Vendredi 29 Septembre 2006, 14:21

$$D_p= \{(x,y) \in \N^2 | x+y=p \}$$


Montrer que c'est une partition de $\N^2$
Pouvez vous m'aider?
Merci d'avance.

[EDIT Arnaud : $\LaTeX$]
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Messagepar guiguiche » Vendredi 29 Septembre 2006, 14:31

Quel niveau ?
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Messagepar la main gauche » Vendredi 29 Septembre 2006, 14:36

EXO0: Tu peux commencer par revoir la définition de partition.

EXO1: En général, si $f:X\to Y$ est une fonction surjective, l'ensemble

$$
 \{ f^{-1}(y) \mid y\in Y\}
 $$


est une partition de $X$. (QS: à quoi sert f surjecive?)

EXO2 toutes les partitions s'obtiennent de cette façon avec $f$ appropriée (choisir $Y$ apropriée).
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Messagepar chaltiel » Vendredi 29 Septembre 2006, 14:43

niveau prépa HEC ECE 1ere année
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Messagepar guiguiche » Vendredi 29 Septembre 2006, 14:51

chaltiel a écrit:niveau prépa HEC ECE 1ere année

C'est pour ton élève ?
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Messagepar chaltiel » Vendredi 29 Septembre 2006, 14:53

oui... J'ai un peu la honte mais c'est tout rouillé... Et l'expliquer c'est pas facile...
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Messagepar guiguiche » Vendredi 29 Septembre 2006, 15:04

chaltiel a écrit:oui... J'ai un peu la honte mais c'est tout rouillé... Et l'expliquer c'est pas facile...

L'exercice n'est pas facile pour elle, c'était très difficile pour mes ECS1.
1. Si $(x,y)\in\mathbb{N}^2$ alors il existe un entier $p$ tel que $(x,y)\in D_p$.
2. Si $(x,y)\in D_p \cap D_q$ avec $p\neq q$ alors ?
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Messagepar manut » Samedi 30 Septembre 2006, 16:42

salut,
c'est mieux de l'expliquer géométriquement je pense. Dans le plan (du moins, dans le quadrant en haut à droite...), D_p est inclus dans la droite d'équation
y=p-x,
i.e., la droite parallèle à la deuxième bissectrice, passant par le point (p,0) de l'axe des abscisses.

Il est très facile de comprendre/voir que, lorsque p varie (et donc, décrit N sur l'axe des abscisses), les droites ainsi tracées balaient tout N^2.
Il est du coup clair aussi qu'on a bien une partition.

a+,
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