Polynôme caractéristique

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Polynôme caractéristique

Messagepar alekhine » Vendredi 05 Octobre 2007, 14:09

Bonjour,

Comment démontrer proprement que si l'endomorphisme $f-\lambda\cdot\text{Id}$ a pour polynôme caractéristique $(-X)^n$ alors $f$ a pour polynôme caractéristique $(\lambda-X)^n$ ?

Je sens bien qu'une évidence m'échappe sur ce coup là, mais je ne la vois pas :?
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Re: polynôme caractéristique

Messagepar guiguiche » Vendredi 05 Octobre 2007, 14:18

alekhine a écrit:Comment démontrer proprement que si l'endomorphisme $f-\lambda\cdot\text{Id}$ a pour polynôme caractéristique $(-X)^n$ alors $f$ a pour polynôme caractéristique $(\lambda-X)^n$ ?

$\chi_{f-\lambda Id}(X)=\det(Mat(f-\lambda Id)-X I)=\det(Mat(f)-\lambda I -X I)=\det(Mat(f)-(\lambda+X)I)=\chi_f(X+\lambda)$
donc $(-X)^n=\chi_f(X+\lambda)$ c'est à dire que $\chi_f(Y)=(\lambda-Y)^n$

Edit : pourquoi ma première ligne est-elle tronquée ? trop longue ?
Pas d'aide par MP : les questions sont publiques, les réponses aussi.
Tu as apprécié l'aide qui t'a été fournie ? Alors n'hésite pas à rendre la pareille à quelqu'un d'autre.
Un peu d'autopromotion.
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Re: polynôme caractéristique

Messagepar Arnaud » Vendredi 05 Octobre 2007, 14:19

Par définition, le polynôme caractéristique de $f-\lambda \times \text{Id}$ est $det(f-\lambda \times \text{Id} - X \times\text{Id})=det(f-(\lambda + X )\times\text{Id})=(-X)^n$. On effectue alors un changement de variable $Y=\lambda + X \Leftrightarrow -X = \lambda - Y$.

[Edit : grillé par le handballeur]
[edit guiguiche : trop long à la détente le volleyeur]
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Re: polynôme caractéristique

Messagepar alekhine » Vendredi 05 Octobre 2007, 16:08

Un grand merci de la part du cycliste.
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Re: polynôme caractéristique

Messagepar kojak » Vendredi 05 Octobre 2007, 17:25

guiguiche a écrit:Edit : pourquoi ma première ligne est-elle tronquée ? trop longue ?

Tu mets en plein écran en enlevant le marque-page et ça devrait fonctionner : chez moi, ça fonctionne :wink:
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