Norme d'un opérateur

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Norme d'un opérateur

Messagepar Imen1 » Lundi 21 Juillet 2008, 19:03

Bonjour, on suppose qu'on à un opérateur $T$ sur un espace de Hilbert $H$ de norme $1$. Ce qui veut que $sup_{x\in H}\frac{\|Tx\|}{\|x\|}=1$. Ma question est: est ce qu'on peut affirmer que $sup_{x\in H}\frac{\|x\|}{\|Tx\|}=1$?
Merci bien davantage pour vos remarques
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Re: Norme d'un opérateur

Messagepar OG » Lundi 21 Juillet 2008, 19:37

Réponse : non.
Sur l'espace des matrices, il suffit que $A$ soit de norme 1 mais non inversible pour que la quantité cherchée soit l'infini.
Si $A$ est inversible alors c'est encore faux, il est facile de construire un exemple.

J'ajoute, (c'est encore valable dans certains cas de dimension infini), que l'on a les résultats/principes de min-max de Courant-Hilbert.

Cordialement
O.G.
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Re: Norme d'un opérateur

Messagepar Imen1 » Lundi 21 Juillet 2008, 19:46

Merci bien OG pour les contres exemples que tu as proposé. Ma dernière question qi possible:
Où est ce que je peux trouver les principes de min-max de Courant-Hilbert dont tu parles? (si possible un lien sur le net de ces principes)
Merci encore une autre fois
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Re: Norme d'un opérateur

Messagepar OG » Lundi 21 Juillet 2008, 20:34

Je n'ai pas de lien immédiat sur le net, il faut essayer avec Google.
Questions livres, ça doit se trouver dans certains livres d'analyse fonctionnelle (function analysis an introduction Eidelman, Milman et Tsolomitis), et le cas de la dimension finie dans les livres d'analyse numérique.

Plus précisement, c'est Fisher-Courant-Hilbert et en dimension infinie ça concerne les opérateux auto-adjoints compacts.

O.G. qui n'aide pas avec son message.
OG
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