Nom d'un théorème

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Nom d'un théorème

Messagepar Framboise » Lundi 31 Octobre 2011, 10:33

Bonjour,

Je cherche le nom d'un théorème.

Soit:
$S = 1 + r + r^2 + ...$
en multipliant par r:
$rS = r + r^2 + ...$
$S- rS = 1$
$S ( 1 - r ) = 1$
$S = 1 / ( 1 - r )$

Applications:
r = 2
$S = 1 + 2 + 4 + ...$
$S =  1 / ( 1 - r )  = - 1$ :shock:

r = 0.1
$S = 0.11111...  $ :D


Je cherche le nom ( et l'intitulé ) du théorème qui implique que ce calcul n'est valide que si S est fini, si toutefois il existe. À défaut, comment prouver que S doit être fini, l'argument $1 + infini = infini => 1 = 0$ étant un peu léger.
Les 2 applications ci dessus illustrent cet effet avec un résultat à priori surprenant.

Merci.
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Re: Nom d'un théorème

Messagepar François D. » Lundi 31 Octobre 2011, 10:42

Outre que tout cela ne vaut que pour $r\neq 1$, c'est une façon un peu inhabituelle de voir un développement en série entière ... peut-être faut-il même aller chercher du côté des séries formelles.
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Re: Nom d'un théorème

Messagepar Framboise » Lundi 31 Octobre 2011, 11:34

François D. a écrit:Outre que tout cela ne vaut que pour $r\neq 1$,

:| Même pas puisque r = 2 entraine:
1 + 2 + 4 + .... = -1 :shock: :oops:

C'est un casse tête à justifier ce bidule. :mrgreen:
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Re: Nom d'un théorème

Messagepar kojak » Lundi 31 Octobre 2011, 13:07

bonjour,

Framboise a écrit:$S = 1 + r + r^2 + ...$


C'est bien connu que ceci converge pour tout $r\in R$, n'est-ce pas :mrgreen:

C'est mieux si $|r|<1$, non :D
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Re: Nom d'un théorème

Messagepar Arnaud » Lundi 31 Octobre 2011, 13:09

Du coup cela revient à soustraire l'infini à l'infini, ce que j'appelle forme indéterminée en première ( si c'est ça le théorème que tu cherches ).
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Re: Nom d'un théorème

Messagepar François D. » Lundi 31 Octobre 2011, 13:35

@kojak : bien sûr !
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Re: Nom d'un théorème

Messagepar Framboise » Lundi 31 Octobre 2011, 13:59

kojak a écrit:C'est mieux si $|r|<1$, non :D

C'est une condition suffisante pour que cela converge, ou que S ne soit pas infini, c'est un grand classique, mais mon problème n'est pas là.
Le problème est d'argumenter avec pertinence dans la suite des calculs que S converge ( ou ne doit pas être infini ) pour que les transformations soient valides.
L'argumentation parait évidente une fois que l'on a le contre exemple qui met en défaut l'équation finale S = 1/(1-r ), mais comment faire judicieusement * pour ne pas tomber dans le piège dès le départ ?

* ou pédagogiquement, car c'est plus un problème d'argumentation à présenter qu'un problème à résoudre.
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Re: Nom d'un théorème

Messagepar kojak » Lundi 31 Octobre 2011, 14:58

Framboise a écrit:C'est une condition suffisante pour que cela converge,
je crois que c'est même mieux que ça : condition nécessaire et suffisante

Framboise a écrit: mais mon problème n'est pas là.
ben, je comprends rien alors à ce que tu veux dire...

Framboise a écrit:
Le problème est d'argumenter avec pertinence dans la suite des calculs que S converge ( ou ne doit pas être infini ) pour que les transformations soient valides


Ta somme ne peut pas être une somme finie à partir du moment où tu mets des $\cdots$.

Framboise a écrit:
* ou pédagogiquement, car c'est plus un problème d'argumentation à présenter qu'un problème à résoudre.

T'es pas capable de calculer $\ds\sum_{k=0}^n r^k$ ?

Si c'est pas ça, j'suis vraiment à côté de la plaque...
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Re: Nom d'un théorème

Messagepar François D. » Lundi 31 Octobre 2011, 16:00

À mon sens le ver est dans le fruit dès le départ : poser $\ds S=1+r+r^2+\dots=\sum_{k=0}^{+\infty}r^k$ suppose que $S\in\R$, ce qui n'est vrai que pour $|r|<1$, en tous cas si $r$ est un réel.
Sinon, on en revient à ce que je disais : $\ds S(X)=\sum_{k=0}^{+\infty}X^k=\dfrac{1}{1-X}$ dans le cadre de $\R[[X]]$ des séries formelles ...

Toute dernière hypothèse : les nombres $p$-adiques ?
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Re: Nom d'un théorème

Messagepar Framboise » Lundi 31 Octobre 2011, 16:21

"je crois que c'est même mieux que ça : condition nécessaire et suffisante"

Oui.
"ben, je comprends rien alors à ce que tu veux dire..."

Oui. Je vais essayer de reprendre autrement. Je patouille sur mes explications, c'est clair, car je ne sais pas comment bien poser mon problème ni exactement où est le problème, ce qui est d’autant plus gênant qu'un problème bien posé est déjà en partie résolu.
"Ta somme ne peut pas être une somme finie à partir du moment où tu mets des $\cdots$."

C'est la valeur de S qui est finie ( | r | < 1 ) ou infinie. Le nombre de termes vu le $\cdots$ est lui infini, bien sûr. J'ai utilisé un raccourci de langage ambigu tu as raison.
"T'es pas capable de calculer $\ds\sum_{k=0}^n r^k$ ? "

Si.

Bon, alors je vais poser mon problème autrement.
- Le but n'est pas de calculer S, vu que cela est déjà fait.
- Comment faire comprendre ou argumenter que le calcul au début de S = 1 / ( 1 - r ) n'est pas valide si S ne converge pas ( <=> | r | >= 1 ).
- L'argument ne doit pas être trop haut niveau car la manipulation de l'infini n'est pas évidente pour un non mathématicien ( un informaticien de gestion... ) et je ne sais plus quelle autre explication convaincante présenter.


François D. a écrit:À mon sens le ver est dans le fruit dès le départ : poser $\ds S=1+r+r^2+\dots=\sum_{k=0}^{+\infty}r^k$ suppose que $S\in\R$, ce qui n'est vrai que pour $|r|<1$, en tous cas si $r$ est un réel.
Sinon, on en revient à ce que je disais : $\ds S(X)=\sum_{k=0}^{+\infty}X^k=\dfrac{1}{1-X}$ dans le cadre de $\R[[X]]$ des séries formelles ...

Toute dernière hypothèse : les nombres $p$-adiques ?


On a bien r réel.
Je crois qu'il y en a un qui va faire des bonds si je lui parle de série formelle ou de nombre $p$-adiques. :mrgreen:

L'idée des séries formelles m'intéresse, je vais creuser cela pour moi. On obtient une équation semblable.

Je ne vois pas du tout comment utiliser les nombres $p$-adiques. :roll:
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Re: Nom d'un théorème

Messagepar kojak » Mardi 01 Novembre 2011, 13:23

Framboise a écrit:- L'argument ne doit pas être trop haut niveau car la manipulation de l'infini n'est pas évidente pour un non mathématicien ( un informaticien de gestion... ) et je ne sais plus quelle autre explication convaincante présenter.

Je crois qu'il faut qu'il comprenne qu'il ne détient pas le savoir suprême, et donc qu'il peut se tromper dans son truc. L'exemple pour $r=2$ ne le convainc pas ? ça devrait le chagriner, il me semble.

Sinon, le fait que des gens très intelligents ont démontré que ceci n'est valable que pour $|r|<1$, il faudra bien qu'il l'admette, faute de pouvoir le comprendre...
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Re: Nom d'un théorème

Messagepar Framboise » Mardi 01 Novembre 2011, 16:48

Je crois qu'il faut qu'il comprenne qu'il ne détient pas le savoir suprême, et donc qu'il peut se tromper dans son truc. L'exemple pour $r=2$ ne le convainc pas ? ça devrait le chagriner, il me semble.

C'est le nœud du problème.
Il avait trouvé la relation S = 1 / ( 1 - r ) avec des longues divisions dans lesquelles on ne voit plus rien tellement c'est embrouillé, plus la formule dans un livre ( donc parole d'évangile, c'est comme vu à la TV :mrgreen: ) sans spécifier de restriction sur r.
J'avais trouvé l'autre démo avec les développement S et S décalé.
Mon contre exemple avec r = 2, auquel il n'avait pas pensé le chagrine beaucoup effectivement, mais il rechigne encore à admettre que la relation peut être mise en défaut, d'autant qu'elle est vérifié dans d'autres cas, et que la condition que S converge lui semble tomber du ciel. C'est tout juste si je ne le mène pas en bateau. Je ne désespère pas d'y arriver ( à le convaincre, pas le bateau ). Je pense qu'après quelques nuits de sommeil, son cerveau s'adaptera plus facilement.

C'est un peu pour cela que j'espérais une idée miraculeuse des cracks du forum. :wink:
Il faut reconnaitre que le cas est un peu dur à avaler pour le non spécialiste et fortement contre-intuitif. Il faudra que je réutilise cela à l'occasion car c'est un cas d'école finalement très instructif vu que l'on peut facilement rater la condition essentielle de validité.

La pédagogie n'est pas toujours facile et ce n'est pas non plus mon point fort.

En tout cas un grand merci à tous ( toutes ? ).
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Re: Nom d'un théorème

Messagepar evariste_G » Mardi 01 Novembre 2011, 17:11

Bonjour.
Je me permets de donner mon point de vue sur ce "raisonnement" (initial).
Avant de faire des math, je dis toujours à mes élèves qu'il faut mettre du sens dans ce qu'ils font.
Ainsi, quand ils écrivent $A-B$, il faut avant tout s'assurer que l'on peut effectuer cette opération. Or, quand on écrit, ici, "$S-rS$, quand on réfléchit, on se rend compte que pour pouvoir effectuer cette opération, il est nécessaire de ne pas avoir une forme indéterminée. Et ici, on constate que les deux quantités sont infinies pour certaines valeurs de $r$, ce qui rend, pour ces mêmes valeurs de $r$, l'opération impossible.
Donc, le raisonnement ne tient pas dès la 3ème égalité.
C'est ainsi que je le présenterais (ça vaut ce que ça vaut ... :D )
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Re: Nom d'un théorème

Messagepar François D. » Mardi 01 Novembre 2011, 18:13

Oui, mais si le « client » est bloqué par quelques réflexes dits « de bons sens » (autrement dit, il se fie à sa seule intuition), ça peut ne pas suffire : soustraire une quantité à elle-même, ça fait zéro, non :mrgreen: ?
Il faut donc, par exemple, préciser que l'infini n'est pas un nombre, et que calculer avec l'infini est très dangereux et donne des résultats parfois déroutants.

Bref, j'insisterais sur un point : dès le début, la somme est supposée infinie (les pointillés dans la formule), et donc il faut lui expliquer qu'additionner une infinité de nombres pose en soi un problème théorique, celui de savoir contrôler le résultat ; partant de là, on peut lui faire comprendre quie ce contrôle est assuré pour $|r|<1$.
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Re: Nom d'un théorème

Messagepar Arnaud » Mardi 01 Novembre 2011, 19:10

Ou donner l'exemple de l'hôtel de Hilbert...
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Re: Nom d'un théorème

Messagepar guiguiche » Jeudi 03 Novembre 2011, 09:20

J'ai envie de dire que la problématique est classique : on cherche à utiliser une formule (ou on la trouve ici) sans regarder initialement quelles sont les hypothèses qui permettent de le faire. Ça me rappelle l'intitulé de la fiche d'exo que j'avais à faire à l'oral du CAPES : nécessité des hypothèses dans les théorèmes.
Pas d'aide par MP : les questions sont publiques, les réponses aussi.
Tu as apprécié l'aide qui t'a été fournie ? Alors n'hésite pas à rendre la pareille à quelqu'un d'autre.
Un peu d'autopromotion.
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Re: Nom d'un théorème

Messagepar François D. » Jeudi 03 Novembre 2011, 12:46

@Arnaud : c'est quoi cet hôtel de Hilbert ?
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Re: Nom d'un théorème

Messagepar Framboise » Jeudi 03 Novembre 2011, 15:49

C'est désespérant car ma démo est moins bonne que la sienne puisque elle est mise en défaut par le contre exemple. Comme si le contre exemple n'invalidait pas toute autant la démo insipide avec les longues division ! :mrgreen:

Cela attendra un peu, pas envie d'en faire plus pour le moment ( migraine ).

Hôtel de Hilbert:
http://fr.wikipedia.org/wiki/H%C3%B4tel_de_Hilbert
C'est superbe. :wink:
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Re: Nom d'un théorème

Messagepar Framboise » Mercredi 09 Novembre 2011, 10:53

Je pense que c'est terminé.

J'ai dû reprendre les notions basiques de raisonnement et de logique.
Des notions qui nous semblent évidentes mais ce n'est pas le cas pour tout le monde.

J'ai dû tout de même expliquer tout cela pendant plusieurs heures.
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Re: Nom d'un théorème

Messagepar Framboise » Jeudi 10 Novembre 2011, 10:54

Surprise:

J'ai reçu une boite de chocolat Lindt ( mes préférés ) en remerciement pour les heures passées. :shock: :D
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