Nb de polytopes réguliers convexes en dimension 3, 4 et +

Discussions générales concernant les mathématiques.
[ce forum est modéré par les modérateurs globaux du site]
Règles du forum
Merci d'éviter le style SMS dans vos messages et de penser à utiliser la fonction Recherche avant de poster un message. Pour joindre des fichiers à vos messages, consulter ce sujet.
> Penser à utiliser le mode LaTeX (voir ici) afin de rendre vos formules plus lisibles.
> Pour obtenir de l'aide sur un exercice ou un problème, consulter cette section. (ce forum est destiné aux discussions plutôt théoriques)

Nb de polytopes réguliers convexes en dimension 3, 4 et +

Messagepar resartus » Lundi 29 Mai 2006, 17:30

bonjour, je viens de m'inscrire sur le forum, et je tente ma chance auprès de vous
pour une démonstration que je n'arrive pas à retrouver sur internet.
J'avais trouvé il y a bien longtemps dans un livre de mathématiques (peut-être de schaefli himself, mais je ne suis pas sûr) une démonstration très astucieuse qu'il n'existe que 5 polytopes convexes réguliers en dimension 3, 6 en dimension 4, et seulement 3 au delà de 5.
Je crois me souvenir que la formule était une inégalité portant sur cos (Pi/n) (n étant le nombre de sommets des faces du polytope).
L'impossibilité d'avoir des faces de 5 cotes et plus a partir de la dimension 5 se traduisait par le fait qu'on arrivait à une valeur supérieure à 1 dans l'inégalité.

Quelqu'un connait-il cette inégalité (ou mieux encore sa démonstration?
resartus
Utilisateur
 
Messages: 3
Inscription: Lundi 29 Mai 2006, 17:06

Publicité

Messagepar Tryphon » Lundi 29 Mai 2006, 20:41

Ca doit y être dans le Berger.
Tryphon
Péta-utilisateur
 
Messages: 1840
Inscription: Mercredi 01 Juin 2005, 17:39
Localisation: Un peu plus à l'Ouest
Statut actuel: Actif et salarié | Enseignant

Messagepar la main gauche » Mardi 30 Mai 2006, 11:45

La première question est certainement qu'est-ce qu'un polytope régulier? De nombreux quteurs se contentent de définitions ad-hoc qui ont le petit effet pervers de laisser penser qu'elles sont taillées sur mesure pour obtenir dans chacun des cas la liste escomptée; mais on ne comprend pas pourquoi la définition est la même dans ces deux cas. Je ne sais pas quelle définition vous utilisez, on m'a suggéré une fois ``un polytope est régulier lorsque son stabilisateur dans le groupe des isométries affines agit transitivement sur les drapeaux de ce polytope.''
la Main Gauche
la main gauche
Méga-utilisateur
 
Messages: 274
Inscription: Jeudi 30 Mars 2006, 07:44
Localisation: selon l'idéal de la liberté

Messagepar rebouxo » Mardi 30 Mai 2006, 14:32

la main gauche a écrit: ``un polytope est régulier lorsque son stabilisateur dans le groupe des isométries affines agit transitivement sur les drapeaux de ce polytope.''


C'est une défintion politique ? Nationaliste ?
Peut-on avoir une guerre sur un polytope régulier ? :wink:

Olivier
A line is a point that went for a walk. Paul Klee
Par solidarité, pas de MP
rebouxo
Modérateur
 
Messages: 6959
Inscription: Mercredi 15 Février 2006, 13:18
Localisation: le havre
Statut actuel: Actif et salarié | Enseignant

Messagepar la main gauche » Mardi 30 Mai 2006, 15:46

Ouarf.
la Main Gauche
la main gauche
Méga-utilisateur
 
Messages: 274
Inscription: Jeudi 30 Mars 2006, 07:44
Localisation: selon l'idéal de la liberté

Une autre définition

Messagepar pb » Mardi 30 Mai 2006, 19:10

En dimension 3, on doit pouvoir définir lâchement un polytope régulier comme étant un sous-groupe fini de SO(3) pas trop trivial. Avec ça, on doit montrer rapidement qu'il n'y en a que cinq.

A propos : le résultat le plus amusant m'a toujours semblé être le fait qu'il y en a au plus cinq. Mais le fait qu'il y en a effectivement 5 n'est pas souvent fait dans les livres il me semble (ça doit être bien barbare).
pb
Déca-utilisateur
 
Messages: 10
Inscription: Jeudi 30 Mars 2006, 23:16

Pour préciser un peu ma question initiale...

Messagepar resartus » Mercredi 31 Mai 2006, 08:30

Merci de votre suggestion. Je vais tâcher de mettre la main sur une geometrie de Berger.
En attendant, pour préciser un peu mon problème, j'ai bien trouvé sur Internet plusieurs inégalités, qui répondent à la question pour chaque dimension :
Pour dimension 3 : 1/p+1/q >1/2 (ou {p, q} est le symbole de schläfli)
Pour dimension 4 : sin(pi/r)> cos(pi/q)/sin(pi/p) (symbole {p, q, r} )
Pour dimension 5 : (cos2(pi/r)/sin2(pi/s)+cos2(pi/q)/sin2(pi/p)<1 {p, q ,r ,s}

Mais la démonstration que je cherche à retrouver est une formule par récurrence, qui équivalait à toutes celles-ci, et qui reliait une certaine caracteristique du polytope de dimension n, à la caractéristique des hyperfaces de dimension n-1 dont il est constitué. C'est cette formule que je n'arrive pas à reconstituer.

La démonstration doit avoir plus de 100 ans, et utilisait des raisonnements trigonométriques. Pas question de stabilisateurs ou de drapeaux! et pas non plus
de géométrie riemannienne...
resartus
Utilisateur
 
Messages: 3
Inscription: Lundi 29 Mai 2006, 17:06

Messagepar la main gauche » Jeudi 01 Juin 2006, 08:58

Il faut quand-même définir ce qu'est un polytope régulier, non? Les défintions ``simplettes'' (celle que je propose n'est pas plus compliquéee que la notion de polytope) sont souvent mauvaises. Si on prend un triangle équilatéral, par exemple, on peut lui couper les coins, on n'obtient pas toujours un héxagone régulier mais souvent un polytope dont le stabilisateur est un groupe d'isométries non nul. On peut faire le même genre de choses avec les autres polytopes réguliers. Il paraît qu'il y a des gens qui écrivent des bouquins avec des défintions en plastique qui ne distinguent pas ces faux polytopes réguliers des vrais, pour le plus grand plaisir des agrégatifs ...
la Main Gauche
la main gauche
Méga-utilisateur
 
Messages: 274
Inscription: Jeudi 30 Mars 2006, 07:44
Localisation: selon l'idéal de la liberté

Main gauche, je ne vais pas contester votre définition

Messagepar resartus » Jeudi 01 Juin 2006, 14:11

c'est celle de Coxeter), mais elle est équivalente à celle de shephard :
1)Tous les sommets sont équivalents.
2)Tous les sous-polytopes (hyperfaces, faces, aretes..) sont réguliers.
3) Le polytope des sommets existe
Cette troisième condition ne sert qu'à éliminer quelques aberrations (paires de points) et est remplie dans le cas d'un polytope convexe
Ce sont ces deux mêmes conditions (plus la convexité) dont se servait Shlafli.

Pour Tryphon : je n'ai pas encore pu trouver la géometrie de Berger (il est apparemment épuisé), mais j'ai trouvé un résume de démonstration dans son livre récent sur la convexité.
Sa démonstration repose sur le calcul de l'angle diedre du souspolytope, d'où un calcul de plus en plus compliqué avec la dimension.
Cela ne semble donc pas être la démonstration par récurrence très élégante que je cherche à retrouver. Mais peut-être sa "géométrie" contient-elle une autre démonstration? L'un d'entre vous aurait-il ce livre?
resartus
Utilisateur
 
Messages: 3
Inscription: Lundi 29 Mai 2006, 17:06

Messagepar la main gauche » Jeudi 01 Juin 2006, 16:45

C'est quoi "sommet équivalent?"
la Main Gauche
la main gauche
Méga-utilisateur
 
Messages: 274
Inscription: Jeudi 30 Mars 2006, 07:44
Localisation: selon l'idéal de la liberté

Messagepar pb » Jeudi 01 Juin 2006, 23:22

Je préfère les drapeaux ;-)

Et je préfère encore ne pas définir les polyèdres. Perso, le résultat que je trouve frappant, c'est qu'il n'y en a que cinq (en dim 3). Et si, au lieu de me démontrer cela, on me démontre qu'il n'y a que 5 classes de conjugaison de sous-groupes finis non triviaux (ie non "plans"...) de SO(3), je suis content :-)

Après, si on veut démontrer ou énoncer d'autre choses, on a sûrement besoin d'une vraie définition des polyèdres réguliers...

Pierre
pb
Déca-utilisateur
 
Messages: 10
Inscription: Jeudi 30 Mars 2006, 23:16

Messagepar rebouxo » Vendredi 02 Juin 2006, 08:14

pb a écrit:Je préfère les drapeaux ;-)

Et je préfère encore ne pas définir les polyèdres. Perso, le résultat que je trouve frappant, c'est qu'il n'y en a que cinq (en dim 3).

Pierre


Hum, avant que la main gauche ne passe par là. Il n'y a que 5 polyèdres réguliers.
A line is a point that went for a walk. Paul Klee
Par solidarité, pas de MP
rebouxo
Modérateur
 
Messages: 6959
Inscription: Mercredi 15 Février 2006, 13:18
Localisation: le havre
Statut actuel: Actif et salarié | Enseignant

Messagepar la main gauche » Vendredi 02 Juin 2006, 08:15

OK, mais il faut inévitablement répondre à la question "comment voir géométriquement" ces sous-groupes finis; et la réponse la plus simple est sans-doute apportée par les polytopes réguliers. Tout polytope régulier donne un sous-groupe fini, mais tous les sous-groueps finis correspondent-ils à un polytope? Avec les exemples dits "platoniciens" on estbien obligé d'étudier ces questions de près.
la Main Gauche
la main gauche
Méga-utilisateur
 
Messages: 274
Inscription: Jeudi 30 Mars 2006, 07:44
Localisation: selon l'idéal de la liberté


Retourner vers Tribune des mathématiques

 


  • Articles en relation
    Réponses
    Vus
    Dernier message

Qui est en ligne

Utilisateurs parcourant ce forum: Google [Bot] et 1 invité