Mesure sigma-fini et mesure fini sur les compacts

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Mesure sigma-fini et mesure fini sur les compacts

Messagepar brahim121985 » Lundi 02 Novembre 2009, 20:12

Bonjour,

Est-ce-que toute mesure sigma-finie sur la tribu borélienne est fini sur les compacts ?
c'est vraie pour la mesure de Lebesgue , mais est-ce vraie pour toutes mesure sigma-finie ?

Merci de me répondre
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Re: mesure sigma-fini et mesure fini sur les compacts

Messagepar Valvino » Mardi 03 Novembre 2009, 19:59

Je crois que oui. Regarde ce qu'il se passe quand tu extrais un sous-recouvrement fini.
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Re: mesure sigma-fini et mesure fini sur les compacts

Messagepar OG » Mardi 03 Novembre 2009, 21:47

Bonsoir

je crois que non. Prendre $\mu(A)=\int_A \frac{1}{|x|} dx$ (en mettant 0 en 0).

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Re: mesure sigma-fini et mesure fini sur les compacts

Messagepar brahim121985 » Mardi 03 Novembre 2009, 22:44

oui Mr.OG, qu'elle est alors la suite dénombrable de mesurable de mesure fini qui recouvre $\mathbb{R}$ ?
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Re: mesure sigma-fini et mesure fini sur les compacts

Messagepar OG » Mardi 03 Novembre 2009, 22:50

$]-n,-1/n[\cup \{0\}\cup]1/n,n[$

Cette question intervient dans quel problème ?

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Re: mesure sigma-fini et mesure fini sur les compacts

Messagepar Valvino » Mardi 03 Novembre 2009, 23:03

Désolé, je me suis embrouillé dans la définition de la mesure $\sigma$-finie... Voilà ce que c'est de parler sur des sujets étudiés il y a un an :mrgreen:
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Re: mesure sigma-fini et mesure fini sur les compacts

Messagepar OG » Mardi 03 Novembre 2009, 23:11

Valvino a écrit:Désolé, je me suis embrouillé dans la définition de la mesure $\sigma$-finie... Voilà ce que c'est de parler sur des sujets étudiés il y a un an :mrgreen:

étudié il y a plus de temps encore... La mesure de Lesbesgue ça va mais les autres...

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Re: mesure sigma-fini et mesure fini sur les compacts

Messagepar brahim121985 » Mardi 03 Novembre 2009, 23:56

oui Mr. OG , j'ai rencontré ceci dans ce problème :

toutes mesure $\sigma$-finie est une forme linéaire positive de l'ensemble des fonction indéfiniment dérivable à support compacts (noté $D(\Omega)$) vers $\lathbb{R}$ , c-à-d : cette application est une forme linéaire positive( l'image d'une fonction positive est positive):

$$D(\Omega)& \longrightarrow& \mathbb{R} $$


$$ \phi & \longmapsto &\int_\mathbb{R} \phi \ d\mu$$


elle est clair que $\mu$ définit une forme linéaire positive, je me suis alors demandé pourquoi elle doit étre $\sigma$-finie, c'est certainement pour que l'intégrale ne soit pas infinie :

$$|\int_\mathbb{R} \phi \ d\mu|=|\int_{supp(\phi)} \phi \ d\mu| \leq sup |\phi|. \ \mu(supp(\phi)) $$

donc $\mu$ doit être finie sur les compact , or elle est juste $\sigma$-finie .
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Re: Mesure sigma-fini et mesure fini sur les compacts

Messagepar OG » Mercredi 04 Novembre 2009, 10:45

Bonjour

Il faut une hypothèse supplémentaire sur $\mu$, $\sigma$-finie ne suffit pas.
Ce n'est pas nécessairement une forme linéaire vu que $\int_\R \Phi d\mu$ n'est pas
définie ou à valeurs dans $\R$.

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Re: Mesure sigma-fini et mesure fini sur les compacts

Messagepar brahim121985 » Mercredi 04 Novembre 2009, 14:13

je vois que si $\mu$ est une mesure de Radon sur $\mathbb{R}$ , ça définie bien une forme linéaire n'est ce pas ?
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Re: Mesure sigma-fini et mesure fini sur les compacts

Messagepar OG » Mercredi 04 Novembre 2009, 14:20

brahim121985 a écrit:je vois que si $\mu$ est une mesure de Radon sur $\mathbb{R}$ , ça définie bien une forme linéaire n'est ce pas ?

Oui et là tu as bien une hypothèse supplémentaire sur la mesure : localement borné,
directement liée avec la topologie.

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Re: Mesure sigma-fini et mesure fini sur les compacts

Messagepar OG » Mercredi 04 Novembre 2009, 16:15

Il faut se méfier tout de même dans le cas d'un ouvert borné,
il se peut qu'il y ait explosion sur le bord. Il faut alors ajouter
mesure de Radon à variation bornée.
Tout ceci est en lien directe avec les formes linéaires continues
sur l'espace des fonctions continues sur un ouvert borné: isomorphe.

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