Meilleure approximation

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Meilleure approximation

Messagepar moumni » Samedi 27 Mai 2006, 09:09

Bonjour:
On sait que si on a un espace de Hilbert E et un sous espace M complet de E, alors pour tout x dans E il existe une unique approximation dans M de x. cette approximation est donnée par $Px$ ou $Px$ est la projection orthogonale de x sur M.
Si on se donne un autre sous espace M' complet de E, alors pour tout x dans E il existe une unique approximation dans M' de x. cette approximation est donnée par $P'x$ ou $P'x$ est la projection orthogonale de x sur M'.
Ma question est: Le quel des éléments $Px$ ou $P'x$ approxime mieux mon x donné?
A titre d'exemple: on peut considérer $E=L^{2}[-1,1]\cap P[-1,1]$
$ P[-1,1]$ est l'nsemble des fonction périodiques de période 2.
$M=\{\frac{1}{\sqrt{2}}e^{int},n=0,1....,N\}$ ou N est un entier fixé.
$M'=\{P_{k},k=0,1,....N\}$$P_k$ est le kieme polynome de Legendre normalisé
M et M' sont tout deux des espaces complets.
Si on se donne une fonction de E c'est a dire une fonction $2\pi$ périodique et de carré intégrable et on la projete sur M et sur M'.
La question quelle est parmi ces deux projections celle qui approxime mieux ma fonction f, l'approximation est au sens de la norme 2 ( celle des fonctions de carré intégrable).
Merci bien davantage pour l'aide
Amicalement
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Messagepar linfir » Mercredi 31 Mai 2006, 09:23

Pose-toi la question dans $E = \mathbb{R}^2$. Étant données deux droites (vectorielles) $M$ et $M'$, et un point $x$, quelle est la meilleure approximation ? Autrement dit, quelle est la droite, entre $M$ et $M'$ qui est plus proche de $x$ ?

... Ça dépend des droites, et du point !
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Messagepar moumni » Mercredi 31 Mai 2006, 12:10

Oui je suis d'accord avec toi, si $ E=R^2$ et M et M' sont deux droites tout dépent de la position de ces deux droites et du point x à projeter.
Mais mon espace E est déja fixé: C'est l'ensemble des fonctions de carré intégrable sur $[-1,1]$ et periodique de période 2
Merci pour ta réponse. et tes nouvelles remarque s'il y'en a.
Amicalement
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