Majoration d'une intégrale

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Majoration d'une intégrale

Messagepar moumni » Mardi 23 Mai 2006, 14:04

Je viens de lire dans un article de G. Walter l'inégalité I suivante, que je veux établir.

$$\int_{-\tau}^{\tau}\frac{(\sin(\pi(t-n)))^2}{\pi^{2}(t-n)^2}dt<\frac{2\tau}{n^{2}-\tau^{2}}$$

Voila ma tentative de démonstration de I : Je me suis dit: pour montrer I il suffit de vérifier les deux inégalités suivantes:
I1:

$$(\sin(\pi(t-n)))^2 \leq 1 \forall t\in[-\tau,\tau]$$


et I2:

$$\pi^{2}(t-n)^2>\pi^{2}(n^{2}-\tau^2) \forall t\in[-\tau,\tau], n\in{Z}$$

telque $n^{2}>\tau^{2}$.
Il est clair que l'inégalité I1 est triviale. Pour montrer I2 il suffit de montrer que la fonction définie sur $[-\tau,\tau]$

$$f(t)= (t-n)^{2}- (n^{2}-\tau^2)=t^{2}-2nt+\tau^{2}$$

est positif sur $[-\tau,\tau]$ dans le cas ou $ n^{2}>\tau^{2}$ Mon problème est le suivant : En étudiant les variation de f sur $[-\tau,\tau]$ j\'ai remarqué que f n'est pas positif sur cet intervalle. Et par suite ma méthode de montrer la première inégalité I n'aboutit pas à cette inégalité. Y'en a-t-il d'autres méthodes pour démontrer l'inégalité I ci-dessus et merci bien davantage pour votre aide
Amicalement Moumni.
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Messagepar la main gauche » Mardi 23 Mai 2006, 16:51

Avec l'hypopthèse $\tau < \pi/2$ on a pour $0 \le x \le \tau$ les inégalités

$$
 {2 \over \pi } x \le \sin x \le x
 $$


la première inégalité vient la concavité du sinus et la deuxième du théorème des accroissements finis. La première inégalité te permet de conclure à vue, je pense.

Il paraît que cette inégalité est très connue, c'est sans doute pour cela que l'auteur n'a cru bon de donner dex explications sur son calcul. Je crois me souvenir que H. Cartan donne un nom à cette inégalité dans son livre sur les focntions holomorphes; quelqu'un pourrait-il me le rappeler?
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