Linéarisation de cos(x)^n

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Linéarisation de cos(x)^n

Messagepar Tunaki » Vendredi 30 Mars 2007, 18:21

Bonjour,

Je crée un nouveau sujet pour ce problème car le précédent semble avoir quelques problème. Je ne peux plus y accéder. Un admin pourra donc supprimer l'ancien post.

Je redis donc le problème.

Je voulais trouver une linéarisation de $\cos^n(x)$.

$$\begin{aligned} \cos^n(x) & = \left(\dfrac{e^{ix} + e^{-ix}}{2}\right)^n \\  & = \dfrac{1}{2^n} \, \ds\sum_{k=0}^n \, \begin{pmatrix}n\\k\end{pmatrix} \, e^{(n-k)ix} \, e^{-kix} \\  & = \dfrac{1}{2^n} \, \ds\sum_{k=0}^n \, \begin{pmatrix}n\\k\end{pmatrix} \, e^{(n-2k)ix} \\ \end{aligned}$$



Et là, guiguiche me disait de remarquer que $e^{(n-2k)ix} = e^{nix} \, \left(e^{-2ix}\right)^k$. Sauf que je vois pas trop ce qu'on peut en tirer. Pourrais-tu expliquer un peu plus ?
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Messagepar Arnaud » Vendredi 30 Mars 2007, 18:26

Le terme mis en facteur ne dépend pas de $k$, donc tu peux le mettre en facteur pour toute la somme.
Regarde ce qu'il se passe une fois que tu auras factorisé ce terme.
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Messagepar Tunaki » Vendredi 30 Mars 2007, 19:51

On aurait alors :

$\cos^n(x) = \dfrac{1}{2^n} \, e^{nix} \ds\sum_{k = 0}^n \begin{pmatrix}n\\k\end{pmatrix} \left(e^{-2ix}\right)^k$

Il est facile de calculer $\ds\sum_{k=0}^n \left(e^{-2ix}\right)^k$ mais le facteur $\begin{pmatrix}n\\k\end{pmatrix}$ complique la chose.

On peut toujours transformer l'écriture en disant que :
$\ds\sum_{k=0}^n \begin{pmatrix}n\\k\end{pmatrix} \left(e^{-2ix}\right)^k = \left(1 + e^{-2ix}\right)^n$
mais cela ne sert à rien.
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Messagepar Arnaud » Vendredi 30 Mars 2007, 20:26

Effectivement ça n'apporte rien.
Je ne connais pas de formule généralisant la linéarisation, mais il y a des polynômes définis par récurrence qui permettent de les retrouver je crois.
Arnaud

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Messagepar kilébo » Vendredi 30 Mars 2007, 20:45

Pour linéariser, il faut effectivement passer par les complexes comme tu l'as fait mais ensuite il faut regrouper les termes deux à deux (le premier avec le dernier, le deuxième avec l'avant dernier, etc...) pour faire apparaitre des $\cos$ ou des $\sin$.
A une erreur de calcul et de raisonnement prêt, tout cela doit être correct.
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Messagepar Tunaki » Vendredi 30 Mars 2007, 20:56

Oui mais cela marche bien quand on a $n$ défini, comme on l'a fait en cours.
Mais dans le cas général, le développement de l'exposant $n$ ne peut se faire qu'avec le binôme de Newton, sans pouvoir le réduire, et il ne fait pas apparaître plusieurs coefficients qui se regroupent facilement deux à deux.
À moins que je rate quelquechose ?
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Messagepar guiguiche » Vendredi 30 Mars 2007, 20:57

Oui, je suis bête de ne pas y avoir pensé plus tôt.
Pas d'aide par MP : les questions sont publiques, les réponses aussi.
Tu as apprécié l'aide qui t'a été fournie ? Alors n'hésite pas à rendre la pareille à quelqu'un d'autre.
Un peu d'autopromotion.
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Messagepar kilébo » Vendredi 30 Mars 2007, 21:03

Avec un $n$ arbitraire c'est exactement la même chose : il suffit de séparer ta somme en deux parties (tu auras à différencier $n$ pair de $n$ impair) et à changer d'indice dans la deuxième somme pour pouvoir faire l'appariement (tu compteras dans l'ordre décroissant au lieu de croissant) avec la première somme.
A une erreur de calcul et de raisonnement prêt, tout cela doit être correct.
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Messagepar Tunaki » Samedi 31 Mars 2007, 10:35

Pourrais-tu détailler un peu plus ? Car là je ne vois pas comment faire.
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Messagepar Valvino » Samedi 31 Mars 2007, 12:14

J'ai trouvé ca dans un livre (Analyse MPSI de J.M. Monier):

linéarisation de $\cos^p$.

Premier cas: $p$ est paire, on prend $p=2m,~m \in \mathbb{N}^*$

$\displaystyle \cos^{2m}(x)=2^{-(2m-1)}\left(1/2 {2m \choose m}+\sum_{k=0}^{m-1}{2m \choose k} \cos(2(m-k).x)\right)$

Deuxième cas: $p$ est impaire, $p=2m+1,~m\in\mathbb{N}^*$.


$\displaystyle \cos^{2m+1}(x)=2^{-2m}\sum_{k=0}^{m}{2m+1 \choose k} \cos((2m+1-2k).x)$
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Messagepar kojak » Samedi 31 Mars 2007, 12:48

Bonjour,
Je ne pense pas que cette jolie formule serve dans la pratique : elle permet seulement de montrer comment peut s'écrire $\cos^n x$ tout simplement.
Dans un cas particulier, il suffit de repartir de la formule d'Euler, et de développer à l'aide de la formule du binôme...
Alors pour Tunaki, essaie de transformer par exemple $\cos ^3 x$, $\cos^4 x$ et tu verras comment ça marche :wink:
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Messagepar Tunaki » Samedi 31 Mars 2007, 12:56

J'avais déjà linéariser $\cos^4x$ en cours et c'est pour cela que j'essayais de voir s'il pouvait y avoir une généralisation.
Apparement, elle n'apporte pas grand chose et semble compliqué (pas (du tout) dans mon programme en tout cas).

Merci quand même Valvino d'avoir posté ça :)
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Re: Linéarisation de cos(x)^n

Messagepar freiher » Jeudi 31 Décembre 2009, 10:50

suite à cet article qui date quand même de 2007 je me permets de répondre sachant qu'en effectuant mon master j'ai réalisé en 1999 une recherche sur la linéarisation cos(x)^n et sin(x)^n sans passer par la formule d'Euler (c'est-à-dire les exponentiel). Si vous voulez plus de détails concernant cette étude je me ferais une joie de vous les fournir sachant que cet essaie est publié et enregistré sous modèle mathématique par un logiciel qui fonctionne sous windows. Qui plus est, mon modèle est plus simple que celui trouvé dans le livre : Analyse MPSI de J.M. Monier. pour lequel je me suis appuyer sur les recherches de Newton et Pascal.
Donc bonne recherche et bonne découverte
Bonnes fêtes de fin d'année...
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Re: Linéarisation de cos(x)^n

Messagepar NatTy » Dimanche 17 Janvier 2010, 12:28

Salut, cela m'intéresse de voir les travaux dont tu parles.
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Re: Linéarisation de cos(x)^n

Messagepar desbocages » Mardi 18 Février 2014, 08:24

Bonjour,
J'ai des formules que j'ai établies en 2004 sur ce même sujet, et elles sont vraiment très simples. Veuillez les consulter en suivant le lien ci-dessous:
http://yakamyale.over-blog.com/article-linearisation-proposition-de-formules-82233204.html
Veuillez y laisser des commentaires svp
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Re: Linéarisation de cos(x)^n

Messagepar MB » Mardi 18 Février 2014, 23:10

Sacré déterrage de topic ! :shock:
Par ailleurs l'article indiqué est peut être intéressant mais difficilement lisible. :|
MB (Pas d'aide en Message Privé)
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Re: Linéarisation de cos(x)^n

Messagepar desbocages » Mardi 17 Juin 2014, 13:22

Bonjour, si quelqu'un a des difficultés à lire sur mon blog, me contacter à l'adresse desbocages-mathematex@yahoo.fr pour que je puisse lui filer une copie pdf du document. Je reconnais que le blog est fait d'images parfois difficiles à lire.
Sincèrement,
Desbocages.
desbocages
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