Limite d'une suite bizarre

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Limite d'une suite bizarre

Messagepar Tunaki » Dimanche 25 Février 2007, 20:25

Bonjour à tous!

Voilà, depuis hier, je me pose une question qui peut paraître assez bête mais je ne pense ne l'est pas. J'essaye de calculer :

$\ds\lim\limits_{N \to +\infty} \dfrac{\alpha + \ds\sum_{n=1}^{N} x_n}{\beta + \ds\sum_{n=1}^{N} x_n}$
où, tous les termes $x_1, x_2, ..., x_n$ sont complètement aléatoires et tous positifs, et $\alpha$ et $\beta$ fixés et aussi posififs.

Il semble que tous ce beau monde tende vers $1$, mais je n'en suis pas trop convaincu.
J'en ai parlé à plusieurs personnes et ils me parlent de "série harmonique". Je ne sais pas trop ce que cela veut dire (hé oui, je ne suis qu'en Terminale S) mais une petite recherche (pas trop loin) me montre que :

$\ds\lim\limits_{n \to +\infty} \ds\sum_{k=1}^{n} \dfrac{1}{k^2} = \dfrac{\pi ^2}{6}$

J'en viens donc à penser que ma première limite n'est pas si évidente.

Pouvez-vous m'éclairer ?
Dernière édition par Tunaki le Dimanche 25 Février 2007, 20:55, édité 3 fois.
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Messagepar Arnaud » Dimanche 25 Février 2007, 20:28

$x_n$ sont des nombres entiers ?

Attention, la dernière limite que tu écris est fausse, c'est :

$$\ds\lim_{n \to +\infty} \ds\sum_{k = 1}^{n} \dfrac{1}{k^2}=\dfrac{\pi^2}{6}$$

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Messagepar Tunaki » Dimanche 25 Février 2007, 20:29

Oui, $x_n$ sont entiers.

Et je vais changer la limite.
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Messagepar Arnaud » Dimanche 25 Février 2007, 20:44

Tiens, pour la série harmonique :

http://fr.wikipedia.org/wiki/S%C3%A9rie_harmonique

C'est un exemple primordial.
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Re: Limite d'une suite bizarre

Messagepar guiguiche » Dimanche 25 Février 2007, 20:47

Tunaki a écrit:$\ds\lim\limits_{n \to +\infty} \dfrac{\alpha + \ds\sum_{n=1}^{+\infty} x_n}{\beta + \ds\sum_{n=1}^{+\infty} x_n}$
où, tous les termes $x_1, x_2, ..., x_n$ sont complètement aléatoires et tous positifs, et $\alpha$ et $\beta$ fixés et aussi posififs.

Tu veux dire :
$\ds\lim\limits_{N \to +\infty} \dfrac{\alpha + \ds\sum_{n=1}^{N} x_n}{\beta + \ds\sum_{n=1}^{N} x_n}$
sûrement ?
Et tes $x_n$ sont choisis au hasard dans quel intervalle fini d'entiers ?
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Re: Limite d'une suite bizarre

Messagepar Tunaki » Dimanche 25 Février 2007, 20:51

guiguiche a écrit:
Tunaki a écrit:$\ds\lim\limits_{n \to +\infty} \dfrac{\alpha + \ds\sum_{n=1}^{+\infty} x_n}{\beta + \ds\sum_{n=1}^{+\infty} x_n}$
où, tous les termes $x_1, x_2, ..., x_n$ sont complètement aléatoires et tous positifs, et $\alpha$ et $\beta$ fixés et aussi posififs.

Tu veux dire :
$\ds\lim\limits_{N \to +\infty} \dfrac{\alpha + \ds\sum_{n=1}^{N} x_n}{\beta + \ds\sum_{n=1}^{N} x_n}$
sûrement ?


Oui.

Et tes $x_n$ sont choisis au hasard dans quel intervalle fini d'entiers ?

$x_n \in \N$ Ils n'appartiennent pas à un ensemble fini.
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Messagepar Arnaud » Dimanche 25 Février 2007, 20:56

Je dirais plutôt $\N^*$, sinon la limite pourrait être $\dfrac{\alpha}{\beta}$.

En considérant le fait que $x_n \ge 1$ pour tout $n$, on voit que la somme tend vers $+\infty$.

En utilisant le principe de "factorisation par le terme de plus haut degré" ( ce qui n'est bien sûr pas le cas ici ), on voit rapidement que la limite est 1.
Par contre je ne vois pas le rapport avec la série harmonique.
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Messagepar guiguiche » Dimanche 25 Février 2007, 20:56

Tunaki a écrit:$x_n \in \N$ Ils n'appartiennent pas à un ensemble fini.

Justement, c'est bien le problème car je crois avoir lu une fois qu'il n'existe pas de probabilité uniforme sur $\N$ (mais je ne suis pas spécialiste de la question donc je peux me tromper).
Une fois réglé ce détail, le théorème de la limite centrée (niveau bac+2) doit pouvoir répondre à ta question.
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Messagepar Tunaki » Dimanche 25 Février 2007, 21:01

Arnaud a écrit:Je dirais plutôt $\N^*$, sinon la limite pourrait être $\dfrac{\alpha}{\beta}$.

En considérant le fait que $x_n \ge 1$ pour tout $n$, on voit que la somme tend vers $+\infty$.


Je mettais l'exemple de la suite harmonique car, si on n'a pas de chance, et que $x_n = \dfrac{1}{n^2}$.
À ce moment là, ce ne tend plus du tout vers $+\infty$, mais $\dfrac{\pi ^2}{6}$

@guiguiche : En gros, à mon niveau, on ne peut pas répondre ?
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Messagepar Arnaud » Dimanche 25 Février 2007, 21:10

Tu te contredis : tu as dit que les $x_n$ étaient des entiers.
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Messagepar guiguiche » Dimanche 25 Février 2007, 21:16

Tunaki a écrit:@guiguiche : En gros, à mon niveau, on ne peut pas répondre ?

En toute rigueur, je ne pense pas. Toutefois, un raisonnement à la louche donne, en admettant que les $x_n$ soient tirés au hasard entre les entiers $a$ et $b$ (avec $a<b$) , on a la limite suivante :

$$\ds\lim_{n\to+\infty}\dfrac{x_1+\dots+x_n}{n}=\dfrac{a+b}{2}$$


Intuitivement, pour un grand nombre de $x_n$ tirés, quand on les ajoute, la somme est quasiment égale à la somme obtenue dans le cas où tous les $x_n$ sont égaux à la valeur moyenne possible.
Ainsi, ton numérateur et ton dénominateur ont pour ordre de grandeur $n\dfrac{a+b}{2}$ donc la limite que tu cherches est bien 1.

@Arnaud : pas besoin de supposer que les $x_n$ soient dans $\N^*$ au lieu de $\N$. S'il existait une probabilité uniforme sur $\N$, alors il serait presque impossible (au sens probabiliste du terme, hein) que tous les $x_n$ tirés (jusqu'à l'infini) soient simultanément nuls.
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Messagepar Tunaki » Lundi 26 Février 2007, 11:08

En gros, si les $x_n$ appartiennent à $\N$, on a la limite qui tend vers 1.

Mais si maintenant on suppose que $x_n \in \R$. Ca rajouterait beaucoup d'autre nombres qui pourrait converger en les additionnant ensemble.
De plus, que se passe-t-il si les $x_n$ sont encore totalement aléatoire (calculés par un ordinateur), et n'ayant aucun lien entre eux, aucune fonction pour passer de $x_{n-1}$ à $x_n$ ?

Il me semble que la limite de départ ne tende plus vers 1...
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Messagepar guiguiche » Lundi 26 Février 2007, 11:14

Je me répète : pour conclure sur la limite (avec le théorème de la limite centrée), il est nécessaire que les $x_n$ appartiennent à une partie finie de $\N$.

S'ils sont réels, il faut que la loi de ce tirage au sort admette une espérance et une variance. Peut-importe que que l'ensemble des valeurs prises soit infini.
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Messagepar bachar » Lundi 26 Février 2007, 16:07

Bonjour,
ceci n'a pas vraiment de rapport mais est-ce que quelqu'un pourrait me dire comment vous trouver :
$\ds\lim_{n\to +\infty} \ds\sum_{k=1}^{n}\dfrac{1}{k^2}=\dfrac{\pi^2}{6}$

[EDIT : rebouxo, correction du code]
Bachar,
111111111*1111111111=12345678987654321
c'est beau les maths non??
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Messagepar François D. » Lundi 26 Février 2007, 16:23

Il manque une balise tex fermante ...

C'est un résultat classique, de niveau Bac+2 en gros ; une des méthodes les plus répandues fait appel aux séries de Fourier.
François D.
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Messagepar rebouxo » Lundi 26 Février 2007, 17:01

De plus, que se passe-t-il si les x_n sont encore totalement aléatoire (calculés par un ordinateur), et n'ayant aucun lien entre eux, aucune fonction pour passer de $x_{n-1}$ à $x_n$ ?


Totalement aléatoire et calculés par un ordinateur c'est impossible. Les ordinateurs ne savent pas tirer au hasard. Ils simulent un tirage au hasard. Dans la pratique cela ne fait pas beaucoup de différence la plus part du temps. Par contre dans certains cas (en particulier en économie) les nombres tirés "au hasard" par un ordinateur ne sont pas assez aléatoire.

Aucune fonction pour passer de $x_n$ à $x_{n+1}$. Je préciserais aucune fonction prévisible.

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Messagepar kojak » Lundi 26 Février 2007, 17:09

Cependant, en Terminale, on peut démontrer que ça converge.
En effet, on pose $u_n=\ds\sum_{k=1}^n \dfrac{1}{k^2}$ et $v_n=u_n+\dfrac{1}{n}$. Il reste à démontrer que ces 2 suites sont adjacentes, et c'est règlé. Le seul problème est de déterminer la limite. Il est possible d'en obtenir des valeurs approchéees par encadrement de 2 termes de même indice des 2 suites $u_n$ et $v_n$.
On sait que cette limite est un réel et c'est déjà bien.
Car qu'en est-il de $\ds\sum_{k=1}^{+\infty}\dfrac{1}{k^3} $ mis à part le fait qu'il soit irrationnel ?
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Messagepar Arnaud » Lundi 26 Février 2007, 17:11

Même pas besoin des suites adjacentes : en majorant et minorant grossièrement puis en sommant et en utilisant les théorèmes de comparaison, on peut conclure.

D'ailleurs en le disant, je me demande si c'est vraiment plus court...
Arnaud

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Messagepar François D. » Mardi 27 Février 2007, 10:01

Petite digression : étant posé que pour $n>1$, $\ds \zeta(n)=\sum_{k=1}^{+\infty} \dfrac{1}{k^n}$, il me semble qu'on peut dire que :
-- il existe une formule explicite pour $\zeta(2p)$, où $p\in \N^*$ ;
-- un prof de lycée a démontré que, lorsque $n$ parcourt les entiers impairs, $\zeta(n)$ prend une infinité de valeurs irrationnelles.

Vrai ?
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Messagepar kojak » Mardi 27 Février 2007, 10:16

François D. a écrit:Petite digression : étant posé que pour $n>1$, $\ds \zeta(n)=\sum_{k=1}^{+\infty} \dfrac{1}{k^n}$, il me semble qu'on peut dire que :
-- il existe une formule explicite pour $\zeta(2p)$, où $p\in \N^*$ ;


Oui, ça c'est Euler qui l'a démontré : $\dfrac{\zeta(2k)}{\pi^{2k}}$ est rationnel...

François D. a écrit:-- un prof de lycée a démontré que, lorsque $n$ parcourt les entiers impairs, $\zeta(n)$ prend une infinité de valeurs irrationnelles.
Vrai ?


je ne sais pas qu'il l'a démontré mais ça date de 2001 seulement, j'crois...
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