Leçon de capes sur le pgcd

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Leçon de capes sur le pgcd

Messagepar yurando » Mardi 15 Avril 2008, 10:53

Bonjour
En préparant la leçon de capes sur le pgcd dans $\N$, je me suis aperçu qu'il y avait deux approches différentes pour le définir.
Soit on définit le pgcd de a et b $\in \N$ comme l'entier d $\in \N$ vérifiant $d \Z = a \Z + b \Z$
soit on le définit comme l'entier d vérifiant $D(d) = D(a)  \cap D(b)$$D(k)$ désigne l'ensemble des diviseurs de k .

J'aimerais savoir si l'une des versions est plus adaptée que l'autre pour la leçon du capes ?
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Re: leçon de capes sur le pgcd

Messagepar Arnaud » Mardi 15 Avril 2008, 11:13

Si tu connais un peu les idéaux, mieux vaut prendre la première définition, c'est plus propre.
Il faut simplement que tu maitrises la définition que tu donnes, et ce qui en découle, donc c'est à toi de faire ce choix.
Arnaud

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Re: leçon de capes sur le pgcd

Messagepar balf » Mardi 15 Avril 2008, 13:44

On peut aussi le définir comme le plus grand (au sens naïf) des diviseurs communs à a et b, et montrer que ça entraîne que D(d) = ... Il ne faut que la division euclidienne pour cela. Je signale aussi qu'il existe une très jolie démonstration (que vous connaissez peut-être) du lemme de Gauss, qui n'utilise que la division euclidienne, et pas l'artillerie lourde que constitue Bézout.

B.A.
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Re: Leçon de capes sur le pgcd

Messagepar dark_forest » Mardi 15 Avril 2008, 22:41

Quoi qu'il en soit cette lecon comporte un petit piège, selon la définition que l'on se donne le pgcd de 0 et 0 n'est pas le meme (c'est 0 avec les idéaux, il n'existe pas si on le définit par $D(d)=D(a) \cap D(b)$).

Par contre si c'est sur le pgcd sur $\mathbb{N}$, il vaut mieux le définir par $D(d)=D(a) \cap D(b)$, car il y a aussi une lecon sur les sous-groupes de $\mathbb{Z}$.
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Re: Leçon de capes sur le pgcd

Messagepar yurando » Mercredi 16 Avril 2008, 13:10

Merci pour vos réponses.
Je suis plutôt de l'avis de dark_forest. Je crois que je vais choisir cette version.
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