Le nombre dérivé et le calcul des limites

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Le nombre dérivé et le calcul des limites

Messagepar adem19s » Lundi 06 Janvier 2014, 18:39

On sait que la fonction $\sin$ est dérivable sur $\mathbb{R}$ et on a quelque soit $x$ $\in $ $\mathbb{R}$: $\sin'x = \cos x$.
est ce que l'écriture suivante est possible voire juste mathématiquement?
$\displaystyle\lim_{x\rightarrow 0} \dfrac{\sin x -\sin 0}{x-0}=\cos0$
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Re: Le nombre dérivé et le calcul des limites

Messagepar projetmbc » Lundi 06 Janvier 2014, 21:12

Bonsoir,
en fait la question n'est pas simple si on se demande comment l'on définit les fonctions $cos$ et $sin$.

Au lycée, on passe via les angles orientés, mais ces derniers ne sont pas simples à définir rigoureusement bien qu'intuitivement facile à appréhender. On arrive alors à prouver la dérivabilité des fonctions trigonométriques via la limite de $\dfrac{sin x}{x}$ en $0$ et du coup, il y a un raisonnement circulaire si on fait comme tu le proposes.

Maintenant, si on définit les fonctions trigonométriques via l'exponentielle complexe, par le développement classique en série entière, alors on a directement les dérivées de ces fonctions et du coup le raisonnement proposé n'est pas circulaire. L'inconvénient de cette méthode c'est la preuve de la péridocité des fonctions $cos$ et $sin$.
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Re: Le nombre dérivé et le calcul des limites

Messagepar adem19s » Lundi 06 Janvier 2014, 22:17

projetmbc a écrit:Bonsoir,
en fait la question n'est pas simple si on se demande comment l'on définit les fonctions $cos$ et $sin$.

Au lycée, on passe via les angles orientés, mais ces derniers ne sont pas simples à définir rigoureusement bien qu'intuitivement facile à appréhender. On arrive alors à prouver la dérivabilité des fonctions trigonométriques via la limite de $\dfrac{sin x}{x}$ en $0$ et du coup, il y a un raisonnement circulaire si on fait comme tu le proposes.

Maintenant, si on définit les fonctions trigonométriques via l'exponentielle complexe, par le développement classique en série entière, alors on a directement les dérivées de ces fonctions et du coup le raisonnement proposé n'est pas circulaire. L'inconvénient de cette méthode c'est la preuve de la péridocité des fonctions $cos$ et $sin$.

Au lycée,on démontre d'abord la limite de $\dfrac{\sin x}{x}$ en 0 par la méthode de comparaison,puis on utilise cette limite pour démontrer la dérivabilité des fontions trigonométriques.par exemple la dérivabilité de la fontion $ \sin$ sur $\mathbb{R}$.
$\displaystyle\lim_{h\rightarrow 0} \dfrac{\sin(x+h)-\sin x}{h}$=$\displaystyle\lim_{h\rightarrow 0} \cos (x+\frac{h}{2})\times\dfrac{\sin\frac{h}{2}}{\frac{h}{2}}$
alors on voit bien que pour prouver la dérivabilité de la fonction $\sin$ sur $\mathbb{R}$ on doit utiliser la limite de $\dfrac{sin x}{x}$ en $0$..alors si j'ai bien compris ,on ne peut pas écrire :$\displaystyle\lim_{x\rightarrow 0} \dfrac{\sin(x)-\sin0}{x-0}=\cos 0$
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Re: Le nombre dérivé et le calcul des limites

Messagepar projetmbc » Lundi 06 Janvier 2014, 22:56

Oui si on se place du point de vue du Lycée uniquement.
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Re: Le nombre dérivé et le calcul des limites

Messagepar kojak » Mardi 07 Janvier 2014, 12:49

Bonjour,

adem19s a écrit:alors si j'ai bien compris ,on ne peut pas écrire :$\displaystyle\lim_{x\rightarrow 0} \dfrac{\sin(x)-\sin0}{x-0}=\cos 0$


Euh.. je ne vois pas pourquoi on ne pourrait pas écrire cette égalité qui est bien vraie, et parfaitement correcte. Ou sinon, je n'ai rien compris à ta question initiale...

C'est la même chose que pour $\ds\lim_{x\to 0}\frac{\ln(1+x)}{x}$
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Re: Le nombre dérivé et le calcul des limites

Messagepar projetmbc » Mardi 07 Janvier 2014, 13:02

Bonjour kojak.

kojak a écrit:Euh.. je ne vois pas pourquoi on ne pourrait pas écrire cette égalité qui est bien vraie, et parfaitement correcte.


Voir ma 1ère réponse.
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Re: Le nombre dérivé et le calcul des limites

Messagepar kojak » Mardi 07 Janvier 2014, 13:31

Bonjour projetmbc,

projetmbc a écrit:Voir ma 1ère réponse.


Pour moi, ta réponse est une digression sur le principe de démonstration ou de justification de la limite proposée. La question initiale était

adem19s a écrit:est ce que l'écriture suivante est possible voire juste mathématiquement?
$\displaystyle\lim_{x\rightarrow 0} \dfrac{\sin x -\sin 0}{x-0}=\cos0$


à laquelle je réponds : elle est parfaitement correcte.
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Re: Le nombre dérivé et le calcul des limites

Messagepar projetmbc » Mardi 07 Janvier 2014, 14:08

kojak a écrit:Bonjour projetmbc.
Pour moi, ta réponse est une digression sur le principe de démonstration...


Je pense au contraire que c'est important. Cela ne te choque pas de démontrer la dérivabilité de $sin x$ en utilisant la limite de $\frac{sin x}{x}$, puis ensuite de calculer la limite de $\frac{sin x}{x}$ en t'appuyant sur la dérivabilité de $sin x$. On tourne en rond. Non ?
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Re: Le nombre dérivé et le calcul des limites

Messagepar kojak » Mardi 07 Janvier 2014, 14:21

Ce n'est pas la question posée, il me semble, ou alors j'ai - très - mal compris ce que le collègue demandait. Pour moi, il demandait seulement si l'écriture qu'il proposait était correcte, point barre.

Après, libre à toi de digresser sur la façon de démontrer ceci, de tourner en rond ou pas. Pour moi, ce n'est pas mon interprétation.

Pour finir, ça me fait doucement rigoler, car comme tu vois ou tu sais comment sont faites ces limites au lycée actuellement.. Ensuite, tu peux lire dans le BO de term S :

BO a écrit:On fait le lien entre le nombre dérivé de la fonction sinus en 0 et la limite en 0 de $\ds\frac{\sin x}{x}$
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Re: Le nombre dérivé et le calcul des limites

Messagepar projetmbc » Mardi 07 Janvier 2014, 14:26

Pourquoi es-tu toujours en mode agressif ? J'ai argumenté ma réponse. De plus certains manuels font justement ce choix de passer par la limite de $\frac{sin x}{x}$ pour ensuite passer à la dérivabilité.

Restons zen...
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Re: Le nombre dérivé et le calcul des limites

Messagepar kojak » Mardi 07 Janvier 2014, 14:34

projetmbc a écrit:Restons zen...
Je le suis :lol: et pour moi, ta réponse, argumentée, n'est pas le sujet ici.

J'en reviens toujours à la question initiale. Il n'a nullement parlé du pourquoi ou du comment démontrer ou justifier ce résultat.

D'ailleurs je n'ai à l'origine répondu que ceci :
kojak a écrit:
adem19s a écrit:si j'ai bien compris ,on ne peut pas écrire :$\displaystyle\lim_{x\rightarrow 0} \dfrac{\sin(x)-\sin0}{x-0}=\cos 0$

Euh.. je ne vois pas pourquoi on ne pourrait pas écrire cette égalité qui est bien vraie, et parfaitement correcte


Tout le reste n'est que digression :D
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Re: Le nombre dérivé et le calcul des limites

Messagepar projetmbc » Mardi 07 Janvier 2014, 16:45

kojak a écrit:
projetmbc a écrit:Restons zen...
Je le suis :lol:

Je dois être sensible des sinus... :lol:
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Re: Le nombre dérivé et le calcul des limites

Messagepar kojak » Mardi 07 Janvier 2014, 17:30

Moi, je préfère prendre la tangente :mrgreen:
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Re: Le nombre dérivé et le calcul des limites

Messagepar adem19s » Mardi 07 Janvier 2014, 21:01

projetmbc a écrit:
kojak a écrit:
projetmbc a écrit:Restons zen...
Je le suis :lol:

Je dois être sensible des sinus... :lol:

la réponse de projetmbc est éloquente mais il n'a pas terminer ce qu'il voulait dire à sa 1ere réponse...
je reviens sur cette limite avec un peu plus de détails..
notre limite est:
$\displaystyle\lim_{x\rightarrow 0} \dfrac{\sin x-\sin 0}{x-0}=\cos 0}$
$\dfrac{\sin x-\sin 0}{x-0}=\dfrac{\sin x}{x}$ et $\cos 0=\displaystyle\lim_{h\rightarrow 0} \cos(\frac{h}{2})\times\frac{\sin(\frac{h}{2})}{\frac{h}{2}}$.
aprés simplification on trouve ceci:
$\displaystyle\lim_{x\rightarrow 0} \dfrac{\sin x-\sin 0}{x-0}$=$\displaystyle\lim_{x\rightarrow 0} \dfrac{\sin x}{x}$=$\displaystyle\lim_{h\rightarrow 0} \frac{\sin(\frac{h}{2})}{\frac{h}{2}}}$
c'est à dire on aura ceci:
$\displaystyle\lim_{x\rightarrow 0} \dfrac{\sin x}{x}$=$\displaystyle\lim_{h\rightarrow 0} \frac{\sin(\frac{h}{2})}{\frac{h}{2}}}$.
sachant qu'on a déja démontrer que :$\displaystyle\lim_{u\rightarrow 0} \frac{\sin u}{u}=1$ on aura :
$\displaystyle\lim_{x\rightarrow 0} \dfrac{\sin x}{x}$=$\displaystyle\lim_{h\rightarrow 0} \frac{\sin(\frac{h}{2})}{\frac{h}{2}}}=1$.
celà explique parfaitement qu'on a pas calculer $\displaystyle\lim_{x\rightarrow 0}\dfrac{\sin x}{x}$ en utilisant le nombre dérivé de la fonction $\sin$ en $0$,on a juste redémontrer que la fontion $\sin$ est dérivable en $0$....
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Re: Le nombre dérivé et le calcul des limites

Messagepar kojak » Mercredi 08 Janvier 2014, 15:58

@adem19s : j'ai rien compris à ta réponse précédente ni ce que tu cherches à faire. Je dois être bouché du sinus.

adem19s a écrit:c'est à dire on aura ceci:
$\displaystyle\lim_{x\rightarrow 0} \dfrac{\sin x}{x}$=$\displaystyle\lim_{h\rightarrow 0} \frac{\sin(\frac{h}{2})}{\frac{h}{2}}}$
Encore heureux qu'on a ceci. Tu as juste posé $x=\dfrac{h}{2}$ Car tu peux même encore écrire que c'est égal à $\ds\lim_{T\to 0}\dfrac{\sin (3T)}{3T}$ ou n'importe quoi du même genre.
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