L'intégrale de Riemann

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L'intégrale de Riemann

Messagepar la main gauche » Mardi 09 Mai 2006, 12:16

En lisant le message d'acid24 http://www.mathematex.net/phpBB2/ici-vp5194.html#5194 on apprend que l'intégrale de Riemann est enseignée en MP. Dans ses fondements de l'analyse moderne, Dieudonné se contente (pour le premier tome) de l'intégrale des fonction réglées à valeurs dans un espace de Banach, qu'on obtient à fort bon marché (en termes d'efforts); et explique que si on a besoin de mieux il n'y a pas de raison de s'arrêter à mi-chemin, on court droit à Lebesgue sans passer par la case Riemann. Les points de vue de Dieudonné ne font pas toujours l'unanimité, mais j'ai ici la naïveté d'y adhérer : dans son bouquin les outils de la théorie de l'intégration des fonction réglées sont exposés en trois pages (définition, primitives, changement de variable) à condition de savoir ce qu'est un espace complet (ce qui est nécessaire pour construire l'intégrale de Riemann) et en connaissant le théorème de prolongement uniformément continu, qui n'est pas très difficile à démontrer et qu'on peut au pire sauvagement admettre (je pense aux élèves de MP).

Je suis donc bien curieux de connaître les vertus de l'intégrale de Riemann qui en font un outil adéquat pour les maths que font les taupins.
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Messagepar acid24 » Mardi 09 Mai 2006, 12:37

cher main gauche,
je me suis peut etre trompé en affirmant que l'integrale de Riemann est au programme en Sup , je ne mettrai pas ma main (gauche) a couper en tout cas sur ce sujet là...
c'etait peut etre une confusion de ma part... désolé,
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Messagepar acid24 » Mardi 09 Mai 2006, 12:51

après vérification, oui , je me suis trompé, l'intégrale que l'on m'a enseigné en Sup était bien celle des fonctions reglées,
j'ai confondu ces deux notions , honte sur moi , je vais editer l'autre post, merci de la précision :)
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Messagepar kilébo » Mardi 09 Mai 2006, 12:58

L'intégration au niveau prépa est vu de façon modeste : L'intégration des fonctions continues par morceaux.

Les seules subtilités qui sont introduites au programme sont les notions d'intégrale généralisée et de fonction intégrable (toujours dans le cas de fonctions continues par morceaux).

Et personnellement, je souscris à cette approche pour un BAC+2. A quoi bon définir l'intégrale de Riemann ou l'intégrale de Lebesgue si l'on ne manipule que des fonctions continues par morceaux ?
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Messagepar la main gauche » Mardi 16 Mai 2006, 12:16

L'intégrale des fonctions réglées a un gros avantage: une limite uniforme de fonctions réglées est une fonction réglée, mais une limite uniforme de fonctions continues par morceaux est une fonction ... réglée. Cela permet de retenir le théorème sur la limite des intégrales d'une suite de fonctions qui converge uniformément est juste l'intégrale de la limite, sous la forme: l'intégrale est une forme linéaire continue. Si on ne sait intégrer que des fonctions continues par morceaux, il faut aussi distribuer des théorèmes aux élèves qui expliquent quand est-ce qu'une limite fonctions continues par morceaux est encore une fonction continue par morceaux; ce qui me paraît assez délicat.
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Messagepar kilébo » Mardi 16 Mai 2006, 17:23

Je comprends ton point de vue mais en fait en prépa, on a pas besoin d'aller dans ces considérations pour faire déjà de beaux problèmes. Certes cela nécessite d'admettre des théorèmes (comme celui de la convergence dominée) ou encore de supposer que la limite est encore une fonction continue par morceaux mais, j'en ai l'impression, cela me paraît une bonne approche pour un niveau BAC+2.
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Messagepar la main gauche » Jeudi 18 Mai 2006, 06:53

Cela me paraît tout de même un peu curieux: une limite même uniforme, de fonction c.p.m (morceaux) n'est pas c.p.m; elle est juste réglée.

Par exemple la fonction définie par

$$\psi(\xi) = 0\quad\hbox{si } \xi \hbox{ est irrationnel}$$


et

$$\psi(p/q) = 1/q$$


(forme irréductible de p/q) est une limite uniforme de fonctions continues par morceaux (d'indicatrices de points); mais n'est pas continue par morceaux.

Que faut-il en penser pour la taupe?
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Messagepar kilébo » Jeudi 18 Mai 2006, 08:08

Je ne sais pas si j'ai été clair. Ce que je voulais dire, c'est que si l'élève a montrer que la limite était (dans le cas particulier qui l'intéresse) encore une fonction continue par morceaux et bien il peut appliquer les théorèmes de son cours. Ces théorèmes peuvent manquer de généralité (justement parce qu'il faut donner une hypothèse supplémentaire sur la limite) mais sont, à mon humble avis, suffisants.
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Messagepar la main gauche » Jeudi 18 Mai 2006, 09:24

Je dois avouer que je ne connais pas du tout les programmes de taupe, j'ai toujours cru qu'on y parlait d'espaces de Banach, du théorème de Cauchy-Lipschitz, etc.

Pour dire qu'une limite est c.p.m, je vois deux arguments: 1) le cas où on sait cacluler la limite sous une jolie forme; 2) le cas où dans la suite de fonction les morceaux sont ``stables'' et qu'on peut faire de la convergence uniforme par morceaux. Est-ce qu'il y a encore d'autres casimportants où la limite de c.pm. est encore c.p.m. ?
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Messagepar kilébo » Jeudi 18 Mai 2006, 13:04

Non en général (presque à 100% d'ailleurs) c'est que l'on connait la limite tout simplement. Le but essentiel est de s'assurer que l'on peut inverser les lim. et l'intégrale.

Si cela t'intéresse, le programme (http://prepas.org/ProgrammesCPGE/MathematiquesMP.pdf) s'intéresse au cas d'une fonction $C^{1}$ pour le théorème de Cauchy(-Lipschitz) et les résultats autour des espaces de Banach sont réduits à leur strict minimum (série absolument convergente, complétude d'un fermé dans un Banach, ...).

Aucune théorie d'intégration de fonctions à valeur dans un Banach, et encore moins, de dérivation de fonctions entre Banach n'est envisagée.
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Messagepar la main gauche » Jeudi 18 Mai 2006, 17:57

Ah, merci pour le lien du programme. J'ai en effet lu que le théorème de Cauchy-Lipschitz était énoncé pour les problémes C1, mais que sa démonstration est hors-programme, on peut donc se passer du théorème de point-fixe de Picard et des autres banacheries (où du théorème d'Ascoli si on préfère).
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