[Histoire] L'infini en mathématiques

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[Histoire] L'infini en mathématiques

Messagepar nirosis » Jeudi 16 Juin 2005, 16:20

Un autre post m'amène à donner le lien suivant. C'est un historique de la notion d'infini en mathématiques et de tous les problèmes que ça pose.

http://www.reunion.iufm.fr/recherche/ir ... tiques.htm

Ces résultats d’indécidabilité font cesser les controverses, en montrant l’égale légitimité logique d’options contradictoires. Aussi n’est-on pas étonné de voir fleurir simultanément, depuis la fin du siècle dernier, des mathématiques ensemblistes de plus en plus abstraites : topologie générale, théorie de l’intégration, analyse fonctionnelle, analyse non standard, etc., qui n’hésitent pas à utiliser l’axiome du choix ou un de ses équivalents, et des mathématiques constructives, qui explorent le pouvoir d’expression des méthodes restreintes au fini et au dénombrable.

On doit reconnaître que l'utilisation, de plus en plus systématique, des ordinateurs pousse aujourd’hui le mathématicien à chercher des répliques algorithmiques des disciplines traditionnelles de l'infini et du continu : géométrie, analyse ou topologie. D’où le développement actuel des mathématiques «finitaires», c’est-à-dire fondées sur la base des entiers finis. D’un côté, on y considère que les seules entités effectivement données et les seuls processus effectivement exécutables sont finis. De l’autre, on y cherche à délimiter les moyens (constructions, règles, etc.) qui donnent accès, à partir de processus portant sur des entités finies, aux notions impliquant l’infini. Le «finitisme» de Hilbert n'a pas cessé de porter ses fruits.

Il est amusant de constater que l'Analyse non standard, qui avait, à ses débuts, une option franchement infinitiste et franchement actualiste pour faire accepter l’idée d’une extension non archimédienne de l’ensemble des nombres réels par des éléments infinis, se tourne elle aussi aujourd’hui vers des techniques finitaires. Des travaux récents introduisent en effet un modèle finitaire des nombres réels et du continu, en jouant sur deux échelles de grandeurs. Vu de près, un nombre réel est défini par un halo de nombres entiers. De loin, c'est-à-dire à une échelle macroscopique, le conglomérat de ces halos a toutes les caractéristiques du continu, indissociable de l'infini croyait-on d’Aristote à Cantor. On tend ainsi à arithmétiser, en un sens proche ou du moins hérité de celui de Kronecker, de nombreuses procédures classiques.

Le développement des mathématiques finitaires conduit à s’interroger sur la nécessité théorique d’assumer toute l’échelle des cardinaux transfinis de Cantor. Cette question, déjà posée par Emile Borel, est de nouveau à l'ordre du jour. Dans les mathématiques applicables au monde physique, on n’est pas contraint logiquement d’accepter l’infini actuel. Il est possible en effet de le contourner en se limitant à des espaces Rn ou Cn pour n fini, et d'envisager dans ces espaces des suites d’éléments (par définition une suite est dénombrable) au lieu d’ensembles arbitraires. On peut, par exemple, forger une définition séquentielle de la mesure pour les ensembles mesurables, les seuls dont on se serve effectivement. Mais on ne peut pas traiter d'ensembles non mesurables selon cette stratégie. Par ailleurs, de nombreux résultats mathématiques font un usage essentiel du transfini. Sans axiome du choix non dénombrable on ne saurait démontrer, par exemple, que tout espace vectoriel a une base, que tout ensemble ordonné inductif a un élément maximal (lemme de Zorn), que tout corps a une extension algébriquement close, etc.

La dualité fini/infini continue de tracer dans le champ mathématique une ligne de partage, que les mathématiciens redéfinissent sans cesse sans jamais l’abolir. S’il est relativement aisé de reconnaître la validité d’un résultat à partir d’hypothèses admises, il l’est beaucoup moins de se mettre d’accord sur les hypothèses que l’on peut ou doit admettre. Comme l’écrivait Henri Lebesgue, «à aucune époque les mathématiciens n’ont été entièrement d’accord sur l’ensemble de leur science que l’on dit être celle des vérités évidentes, absolues, indiscutables, définitives».
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Messagepar Nightmare » Jeudi 16 Juin 2005, 16:27

Interressant ... On voit quand même que même pour les mathématiciens c'est une idée trés abstraite .

J'ai moi même vu un livre nommé "L'infini dans les sciences , l'art et la philosophie" . Je ne l'ai pas lu , juste feuilleté dans le magazin mais il m'avait l'air interressant .
Si vous êtes interressé il est ici.

:)
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Messagepar Nightmare » Jeudi 16 Juin 2005, 16:31

Voici ce qu'en dit mon dictionnaire des mathématiques :

En mathématique , le mot infini employé seul n'a pas de sens. Il est possible , en revanche , de définir des expressions telles que : "ensemble infini" et certaines locutions "tendre vers l'infini" , "plus l'infini" etc. La notion d'infini présente deux aspects : l'infini potentiel qui évoque une possibilité de dépassement (par exemple , tout nombre premier admet un suivant , la liste des nombres premiers est donc illimitée) et l'infini actuel qui est une "prise de conscience" de tous les éléments à la fois d'un ensemble infini (l'ensemble des entiers naturels par exemple) . L'usage de l'infini actuel, longtemps condamné en mathématique , ne l'est plus aujourd'hui depuis la création et l'adoption de la théorie des ensembles.


:)
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Messagepar nirosis » Jeudi 16 Juin 2005, 16:33

Un autre lien intéressant avec un exemple rigolo :

Pour clore ce dossier, un petit exercice accessible à tous qui prouve que 0,99999… = 1:
Si on pose : x = 0, 99999…, alors :

10 x = 9, 9999…
10 x – x = 9,9999… – x
9 x = 9,9999… – 0,9999…
9 x = 9
x = 1

d’où : 0,99999… = 1

Il n'y a pas de piège et même si la démonstration ci-dessus n'est pas d'une rigueur exemplaire, le résultat énoncé est tout à fait exact.


http://www.col-camus-soufflenheim.ac-st ... P=81&IDD=0
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Messagepar nirosis » Jeudi 16 Juin 2005, 16:35

Merci pour la définition que tu as donnée. :wink:

Tiens encore un bon lien : http://www.dstu.univ-montp2.fr/GRAAL/pe ... ure31.html
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Messagepar Nightmare » Jeudi 16 Juin 2005, 16:52

Ah oui , je la conaissais cette démonstration , mon prof de maths de 3éme me l'avait faite :)

C'est vrai qu'au niveau rigueur , on pourrait se poser des questions :roll: .

:)
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Messagepar nirosis » Jeudi 16 Juin 2005, 17:31

c'est pas rigoureux du tout. Les ... cachent beaucoup de choses !!
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Messagepar MB » Jeudi 16 Juin 2005, 18:09

Le problème vient surtout des calculs avec ces 'écritures' (nombres se terminant par ...). Il n'est pas très rigoreux de faire les calculs comme si l'on avait des nombres décimaux, puisque ce n'est justement pas possible (pour les multiplications, on part du chiffre le plus à droite puis on propage des retenues : dans notre cas il n'y a pas de chiffre le plus à droite). Dans ce cas, on pourrait également écrire : $\dfrac{1}{3} = 0,333 \ldots$ et donc $3 \times 0,333 \ldots = 0,999 \ldots = \dfrac{3}{3} = 1$.
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Messagepar Nightmare » Jeudi 16 Juin 2005, 18:12

Un autre moyen de voir les choses et où les ... ne posent pas probléme est de voir que : $0,999....=3\times 0,33.....=3\times \frac{1}{3}=1$

:)
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Messagepar Nightmare » Jeudi 16 Juin 2005, 18:13

Oula , désolé MB , je n'avais pas vu que vous aviez la même remarque que moi :oups:
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Messagepar MB » Jeudi 16 Juin 2005, 18:20

Nightmare a écrit:Oula , désolé MB , je n'avais pas vu que vous aviez la même remarque que moi :oups:


C'est pas grave ! Je pense que cette preuve est moins utilisée car le problème du calcul est plus flagrant : on admet plus facilement qu'une multiplication par 10 revient à un décalage de la virgule d'un chiffre vers la gauche. Attention cependant à la soustraction.

[HS] Tu sais que tu peux mettre 'Jord' dans ta signature (avant ta citation par exemple), ça t'évitera de le rétaper à chaque fois (et c'est fait pour).
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Messagepar Nightmare » Jeudi 16 Juin 2005, 18:39

Oui c'est vrai , mais j'ai pris l'habitude de le taper à présent , je ne m'en rend presque plus compte d'ailleur . Si je le met dans ma signature maintenant , je risquerais de le taper quand même .

:)
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démo 0.999....=1

Messagepar reav » Jeudi 16 Juin 2005, 20:11

Bonjour

Que pensez-vous de cette rédaction au niveau des "..." ?

On pose x=0.9999...

10x=9.9999...
10x=9+x
9x=9
x=1

Est-elle plus rigoureuse que la précédente ou est-ce exactement pareil ?
reav
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Messagepar Nightmare » Jeudi 16 Juin 2005, 20:12

bah .. il y a toujours le passage de x=0,999... a 10x=9,999....

:roll:
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Messagepar Zaim KHELIFI » Jeudi 16 Juin 2005, 22:51

Hi,
je n'ai pas pus résister à ce carnage sur les mathématiques, mes doigts me démangent, ouff tout d'abord si on écrit 0.999.. comme étant égale à 1-10^n avec n entier négatif non nul alors (1-10^n)=1
=>1-1-10^n=0
=>10^n=0
alors quel entier négatif non nul vérifie 10^n=0. :?:
Zaim KHELIFI
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Messagepar Nightmare » Jeudi 16 Juin 2005, 23:26

Pourquoi 0,99... serait-il égal à $1-10^{n}$ ? C'est totalement faux !

:roll:
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Messagepar MB » Vendredi 17 Juin 2005, 00:07

Zaim KHELIFI a écrit:si on écrit 0.999.. comme étant égale à 1-10^n avec n entier négatif non nul


Oui, mais comme le dit Nightmare, c'est faux et personne n'a dit cela. $0,999 \ldots$ est une 'notation' pour désigner une suite infinie de 9. Ton $n$ devrait donc être infini également.
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Messagepar Tryphon » Vendredi 17 Juin 2005, 09:46

L'argument d'un pote qur 0,999... = 1 :

"S'ils sont différents, alors il y a un nombre compris strictement entre les 2. Donne-le moi..."
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Messagepar Nightmare » Vendredi 17 Juin 2005, 10:49

Oui en effet , et cela tient de la simple phrase que tout le monde connait : "$\rm \mathbb{Q}\;est\;dense\;dans\;\mathbb{R}$"

;)
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Messagepar MB » Vendredi 17 Juin 2005, 17:45

Tryphon a écrit:"S'ils sont différents, alors il y a un nombre compris strictement entre les 2. Donne-le moi..."


Oui, pareil, c'est intuitif mais ce n'est pas une preuve. De toute manière, je pense que la notation $0,999 \ldots$ doit être correctement définie (c'est le principal problème). Pour cela, il me semble indispensable d'utiliser la notion de limite pour obtenir :

<center>$0,999 \ldots = \ds\lim_{n \rightarrow +\infty} 1-10^{-n}$</center>

De fait, on a donc bien $0,999 \ldots = 1$
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