[Histoire] L'infini en mathématiques

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Messagepar Nightmare » Vendredi 17 Juin 2005, 17:49

Pas mal MB , je n'y aurais pas pensé ;)

en effet dans ce cas là c'est clair .

:)
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Messagepar Tryphon » Vendredi 17 Juin 2005, 18:03

Je n'ai jamais dit que c'était une preuve. Mais amuse-toi à parler de limite en 2nde.

Il me semble que l'argument de mon pote a plus d'impact sur les secondes, parce que la chose difficile, c'est à eux de la trouver, alors que l'étape difficile du premier argument cité, c'est $10\times 0,999\ldts = 9 + 0,999\ldots$, et c'est le prof qui la donne (donc moins convaincant pour les élèves).

D'un autre côté, j'aime bien la première technique, car elle donne une façon systématique de retrouver une écriture fractionnaire à tout développement périodique. Mais ça, ça ne touche que deux élèves par classe de 2nde, et encore, les bonnes années...
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Messagepar MB » Vendredi 17 Juin 2005, 18:14

Tryphon a écrit:Je n'ai jamais dit que c'était une preuve. Mais amuse-toi à parler de limite en 2nde.


Oui je sais que tu avais parlé d'argument et non de preuve; je précisais juste que ce n'en était pas une. Par ailleurs, je ne savais pas que c'était pour les secondes.

Je pense cependant qu'il n'est pas très bon d'utiliser ce type de notations avec des élèves (même si c'est fait depuis le collège avec la division décimale). Ca passe encore pour écrire un résultat (par exemple $1 \div 3 = 0,333\ldots$) mais par contre utiliser ces notations dans des calculs ... moi je n'aime pas du tout ! D'ailleurs dans la première preuve, on s'empresse de masquer la chose en posant $x=0,999\ldots$ et en faisant des calculs avec $x$.
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Messagepar Tryphon » Vendredi 17 Juin 2005, 18:23

Début du HS :
il est très difficile de faire raisonner les élèves avec d'autres types d'écriture que l'écriture décimale (fractionnaire, radicielle). Une fraction n'a quasiment aucune signification pour un élève moyen de 2nde.

C'est une des conséquences de la généralisation des calculatrices dès la 6ème, dont les instructions officielles nous rabattent les oreilles.

J'en ai discuté avec des formateurs IUFM et des IPR, ils minimisent le problème ou semblent ne pas l'avoir anticipé. Je suis parfois assez abasourdi.
Fin du HS.
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Messagepar MB » Vendredi 17 Juin 2005, 18:43

Tryphon a écrit:il est très difficile de faire raisonner les élèves avec d'autres types d'écriture que l'écriture décimale (fractionnaire, radicielle).


Oui, mais cette écriture n'est pas vraiment une écriture décimale (qui est, pour moi, réservée aux nombres décimaux). Après, je vois très bien ce que tu veux dire et il est bien normal qu'une fraction (et qu'un radical) ne représente pas grand chose. De fait, au collège, j'insiste sur la notion d'arrondi ou d'encadrement mais je refuse l'utilisation des '...' afin d'éviter les déviances dues à cette notation.
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Messagepar Tryphon » Vendredi 17 Juin 2005, 18:49

Si, c'est une écriture décimale.

Le dévelopement décimal d'un nombre est une notion qui fonctionne pour tout réel.

Ceux-là en particulier (ceux qui finissent pas une infinité de 9) s'appellent des développements décimaux impropres il me semble, et montrent le paradoxe suivant (prisé des examinateurs de concours) que certains réels en l'occurence les décimaux) admettent 2 développements décimaux.

Je n'ai pas de cours sous la main, mais ça doit être fait dans n'importe quel cours de 1ère année.
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Messagepar MB » Vendredi 17 Juin 2005, 19:11

Tryphon a écrit:Si, c'est une écriture décimale.


Bon si tu le dis. C'est vrai que j'étais pas certain.

Tryphon a écrit:Le dévelopement décimal d'un nombre est une notion qui fonctionne pour tout réel.


Oui, je faisais une différence entre écriture décimale et développement décimal ... un peu comme entre polynôme et série entière. Pour moi, le développement décimal était une généralisation de l'écriture décimal pour les nombres non décimaux.

Mais du coup, il n'y a vraiment pas de différence entre l'écriture décimal d'un réel et son développement décimal ? (si oui, pourquoi utiliser deux termes différents)

L'écriture décimale d'un nombre (décimal) ne serait donc plus unique ? Quelle serait alors la définition de l'écriture décimale d'un nombre réel ?

Je tente de me répondre à moi même : c'est peut être ce problème d'unicité qui nécessite l'usage de deux termes : l'écriture décimale serait unique mais pas forcément le développement décimal. Si c'est bien cela, je demande la définition exacte de l'écriture décimale d'un réel.

PS : je ne possède pas de document à ce sujet.
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Messagepar Tryphon » Vendredi 17 Juin 2005, 19:14

Pour être honnête, je crois pas avoir jamais vu l'expression "écriture décimal" définie où que ce soit. Je pensais que c'était une dénomination que seuls les profs du secondaire utilisent.

Tout comme l'ensemble D des décimaux, qui n'a aucune justification mathématique (sa justification est historique et pédagogique". D'ailleurs, la notation $\mathbb{D}$ n'est pas du tout standardisée (et quasi-inconnue hors de nos frontières).
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Messagepar MB » Vendredi 17 Juin 2005, 19:20

Oui, tu sembles donc bien sous-entendre que le terme "écriture décimal" (même si il n'est pas vraiment défini) est associé aux nombres décimaux. Le seul terme mathématique correctement défini serait donc "développement décimal" et le développement décimal d'un réel ne serait pas unique pour les nombres décimaux (et uniquement eux). De fait, il est fort possible que l'on nomme "écriture décimale du nombre décimal" le développement décimal fini. Ca paraît plausible non ?
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Messagepar Nightmare » Vendredi 17 Juin 2005, 19:35

Désolé de m'incrusté dans votre discussion , mais ayant été en seconde cette année je pense pouvoir vous éclairer un petit peu quant à vos soucis de vocabulaires .

On a appris en effet l'existence d'un ensemble $\mathbb{D}$ des nombres décimaux . Ces nombres décimaux ont été définis d'une part comme des nombres rationels ayant un développement décimal fini .
Ensuite alors , on nous a dit que tout nombre décimal pouvait s'écrire sous la forme généralisée :
$a\times 10^{-n}$
n étant un entier naturel .

Par la suite alors a été introduit les nombres rationels non décimaux qui eux admettaient un développement décimal non fini tel que $\frac{1}{3}=0,3333...$ (on nous fit remarquer alors la périodicité du développement décimal)
Mais le plus marquant était le fait que l'on nous dise que , malgrés l'égalité entre un nombre rationel non décimal et son écriture pseudo-décimale , ils ne sont pas réellement égaux .
Remarque , c'était assez logique puisque ces nombres étant considérés comme des rationels non décimaux , il était bizarre qu'ils admettent une écriture décimale .

Je vais réfléchir a une suite éventuelle à mon post car là j'ai un peu perdu le fil de ce que vous disiez .

:)
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Messagepar Tryphon » Vendredi 17 Juin 2005, 19:40

MB a écrit:Oui, tu sembles donc bien sous-entendre que le terme "écriture décimal" (même si il n'est pas vraiment défini) est associé aux nombres décimaux.


Non, je le prends pour synonyme, au secondaire, de "développement décimal".

Du coup, j'ai une position diamétralement opposé à la tienne (j'autorise 1/3=0,333..., mais pas 1/3=0,333 bien sûr). En fait, l'écriture qu'on m'a enseignée était :
<center>$\frac13=0,\overline{3}\ldots$</center>
avec une barre sur la période). Mais je comprends tout à fait la tienne.
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Messagepar MB » Vendredi 17 Juin 2005, 19:53

Tryphon a écrit:
MB a écrit:Oui, tu sembles donc bien sous-entendre que le terme "écriture décimal" (même si il n'est pas vraiment défini) est associé aux nombres décimaux.


Non, je le prends pour synonyme, au secondaire, de "développement décimal".


Dans ce cas, il faudra que j'adapte un peu ma façon de m'exprimer. Je ne dirais plus que $0,5$ est l'écriture décimale de $\dfrac{1}{2}$ mais que $0,5$ est une écriture décimale de $\dfrac{1}{2}$, une autre étant $0,4999\ldots$.

Tryphon a écrit:Du coup, j'ai une position diamétralement opposé à la tienne (j'autorise 1/3=0,333..., mais pas 1/3=0,333 bien sûr).


Oui, j'autorise également cette notation mais je ne l'encourage pas du tout. J'insiste pour que les élèves laissent les résultats sous forme de fraction (simplifiée) lorsqu'e le résultat d'un calcul n'est pas entier (ou décimal avec peu de chiffres dans la partie décimale). On utilise donc la calculatrice que pour faire des arrondis ou des encadrements (si cela est demandé dans l'énoncé).

Sinon, la seconde notation me dit quelque chose. Je pense que c'est la bonne.
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Messagepar MB » Vendredi 17 Juin 2005, 20:06

Nightmare a écrit:On a appris en effet l'existence d'un ensemble $\mathbb{D}$ des nombres décimaux . Ces nombres décimaux ont été définis d'une part comme des nombres rationels ayant un développement décimal fini


Oui, pourquoi pas, mais on peut constater que le développemennt décimal d'un nomre décimal n'est pas forcément fini. Il serait donc préférable de dire qu'un nombre est décimal lorsqu'il admet un développement décimal fini. Au collège, je 'défini' les nombres décimaux à partir des fractions décimales.


Nightmare a écrit:Mais le plus marquant était le fait que l'on nous dise que , malgrés l'égalité entre un nombre rationel non décimal et son écriture pseudo-décimale , ils ne sont pas réellement égaux


Le terme "écriture pseudo-décimale" a été employé par le professeur ?

Nightmare a écrit:Remarque , c'était assez logique puisque ces nombres étant considérés comme des rationels non décimaux , il était bizarre qu'ils admettent une écriture décimale


Tu semble donc supposer que le terme "écriture décimale" est réservé aux nombres décimaux ?
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Messagepar Nightmare » Vendredi 17 Juin 2005, 20:12

Voici ce qu'en dit mon dico :


Développement en base p ($p\in\mathbb{N}-\{0;1\}$) :
Tout nombre entier positif x peut s'écrire de façon unique :
$x=\displaystyle\sum_{k=0}^{n} a_{k}p^{k}$ où les $a_{k}$ sont des entiers naturels tels que $0\le a_{k}\le p-1$ .
La suite $(a_{n})_{n\in\mathbb{N}}$ ainsi obtenue est appelée développement de x en base p que l'on écrit parfois $x=\overline{a_{n}a_{n-1}...a_{0}}^{p}$
De ceci , il en découle que tout entier positif x de l'anneau $\mathbb{Z}\[\frac{1}{p}\]\subset\mathbb{Q}$ peut s'écrire $\displaystyle\sum_{k=m}^{n} a_{k}p^{k}$ avec $a_{k}\in[|0;p-1|]$ et $m\in\mathbb{Z}$ .
Pour tout nombre réel x compris entre 0 et 1 , il existe une unique suite $(a_{n})_{n\ge 1}$ de $[|0,p-1|]$ telle que la série $\displaystyle\sum_{n\ge 1} \frac{a_{n}}{p^{n}}$ converge vers x ; cette série est le développement de x en base p . Les sommes partielles de cette série sont des éléments de $\mathbb{Z}\[\frac{1}{p}\]\subset\mathbb{Q}$ qui fournissent des approximations rationnelles de x.

Développement décimal d'un nombre réel :
Dévellopement décimal en base 10 .
Par exemple , le développement décimal de $\frac{2}{3}$ est $0,666...=\displaystyle\sum_{k\ge 1} \frac{6}{10^{k}}$.
Un nombre réel est décimal si et seulement si son développement décimal n'est constitué que de zéros à partir d'un certain rang .
Un nombre réel est rationnel si et seulement si son développement décimal est périodique .

Nombre décimal:
Nombre rationnel pouvant s'écrire sous la forme $\frac{n}{10^{m}}$ avec $(n,m)\in\mathbb{Z}\times\mathbb{N}$


Voila , j'espere que cela vous aidera .

:)
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Messagepar Nightmare » Vendredi 17 Juin 2005, 20:17

MB a écrit:Le terme "écriture pseudo-décimale" a été employé par le professeur ?


Non non il vient de moi , cette partie du programme ayant été traitée en début d'année , il aurait fallut que j'ai une mémoire digne de ce nom pour m'en rappeller ;)

MB a écrit:Tu semble donc supposer que le terme "écriture décimale" est réservé aux nombres décimaux ?

Selon mon dictionnaire non , selon mon prof oui . Maintenant vous savez les dictionnaires ... :roll:

:)
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Messagepar MB » Vendredi 17 Juin 2005, 20:19

Nombre décimal: Nombre rationnel pouvant s'écrire sous la forme $\frac{n}{10^{m}}$ avec $(n,m)\in\mathbb{Z}\times\mathbb{N}$


C'est, en gros, la définition que je donne au collège.

Sinon, je ne suis pas d'accord avec la définition du développement donnée par ton dictionnaire; pour moi, il n'y a pas unicité.
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Messagepar Nightmare » Vendredi 17 Juin 2005, 20:25

Moi je suis daccord sur l'unicité .
Tu dis :
MB a écrit:Dans ce cas, il faudra que j'adapte un peu ma façon de m'exprimer. Je ne dirais plus que 0,5 est l'écriture décimale de $\dfrac{1}{2}$ mais que 0,5 est une écriture décimale de $\dfrac{1}{2}$, un autre étant $0,4999\ldots.$


Selon la définition d'un rationnel décimal , celui-ci aurait un développement décimal fini
(tu as acquiescé toi même à cette définition :
MB a écrit:Il serait donc préférable de dire qu'un nombre est décimal lorsqu'il admet un développement décimal fini.
)

Or , tu dis qu'une autre écriture décimale de $\frac{1}{2}$ serait $0,4999...$ .
Ce développement n'est pas un développement fini , donc si jamais $\frac{1}{2}$ s'écrivait sous cette forme , alors il ne serait pas décimal ce qui est un peu absurde .
Donc je ne pense pas qu'on puisse l'écrire tel que tu l'as fait .

:)
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Messagepar MB » Samedi 18 Juin 2005, 05:36

Nightmare a écrit:Or , tu dis qu'une autre écriture décimale de $\frac{1}{2}$ serait $0,4999...$ .
Ce développement n'est pas un développement fini , donc si jamais $\frac{1}{2}$ s'écrivait sous cette forme , alors il ne serait pas décimal ce qui est un peu absurde


Dans la définition du développement décimal donnée par ton dictionnaire, $0,4999\ldots$ et $0,5$ sont deux développements décimaux de $\dfrac{1}{2}$ (les deux suites vérifient les propriétés d'un développement décimal). Un étant fini et l'autre non. Cela, pose en effet problème dans la définition des nombres décimaux du dictionnaire. Il parle de son développement décimal qui doit être fini (suppose donc l'unicité), alors que moi j'ai changé en un développement décimal, ce qui change tout et qui ne contredit pas le fait que $\dfrac{1}{2}$ soit décimal.
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Mais quel carnage !!!

Messagepar Zaim KHELIFI » Samedi 18 Juin 2005, 22:02

Je ne crois pas mes yeux, si mon prof de math voit ça elle aura une crise cardiaque.
Dites moi si
1>0.99999…
ou
1=0.9999…
ou
0.9999…-->1.
Mais où sont les notions d'algébre et d'analyse du lycée ?
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Re: Mais quel carnage !!!

Messagepar MB » Dimanche 19 Juin 2005, 00:17

Zaim KHELIFI a écrit:Je ne crois pas mes yeux, si mon prof de math voit ça elle aura une crise cardiaque.


Quel est le problème ?

Zaim KHELIFI a écrit:Dites moi si
1>0.99999…
ou
1=0.9999…
ou
0.9999…-->1.


Les deux dernières propositions.
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