Intersection de deux hyperboles

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Re: Intersection de deux hyperboles

Messagepar patrickVD » Mercredi 17 Mars 2010, 13:03

MC a écrit:@patrickVD : laisse moi deviner. Tu connais la différence de temps d'arrivée d'un signal sonore entre les deux micros de la première paire et entre les deux micros de la deuxième paire. Tu veux en déduire d'où le signal a été émis. Ce problème peut avoir de zéro à quatre solutions.


Tout à fait mon cher watson!
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Re: Intersection de deux hyperboles

Messagepar patrickVD » Mercredi 17 Mars 2010, 16:39

Tonn83 a écrit:Tous les chemins mènent à Rome... Je crains fort que ce fil ne tourne en rond. Fp, tu as déjà proposé la solution plus haut.
Les points d'intersection des hyperboles $H_i$ d'équation $\frac{x^2}{a_i^2}-\frac{y^2}{b_i^2}=1$ sont
$\left(\pm\sqrt{\frac{a_1a_2(b_2-b_1)}{a_1b_2-a_2b_1}},\pm\sqrt{\frac{b_1b_2(a_2-a_1)}{a_1b_2-a_2b_1}}\right)$

Ils existent ssi $a_2-a_1$, $b_2-b_1$ et $a_1b_2-a_2b_1$ sont de même signe. La dernière quantité s'interprète comme un déterminant. Il se peut donc qu'il n'y ait aucun point d'intersection, ou des intersections doubles.

Mais es-tu sûr de tes équations d'hyperbole ? Les hyperboles $H_1$ et $H_2$ ont pour axe de symétrie les axes des abscisses et des ordonnées. Est-ce bien le cas ? Je regarde les figures que tu joins à tes messages, j'ai un doute, mais tu es seul juge.


Ok, alors la vraie question serait plutôt, comme écrire l'équation d'une hyperbole tournée d'un angle theta, en une ligne, ... sans passer par les matrice de rotations, f(x,y) = 1 ??
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Re: Intersection de deux hyperboles

Messagepar fp » Mercredi 17 Mars 2010, 17:36

patrickVD a écrit:
Tonn83 a écrit:Tous les chemins mènent à Rome... Je crains fort que ce fil ne tourne en rond. Fp, tu as déjà proposé la solution plus haut.
Les points d'intersection des hyperboles $H_i$ d'équation $\frac{x^2}{a_i^2}-\frac{y^2}{b_i^2}=1$ sont
$\left(\pm\sqrt{\frac{a_1a_2(b_2-b_1)}{a_1b_2-a_2b_1}},\pm\sqrt{\frac{b_1b_2(a_2-a_1)}{a_1b_2-a_2b_1}}\right)$

Ils existent ssi $a_2-a_1$, $b_2-b_1$ et $a_1b_2-a_2b_1$ sont de même signe. La dernière quantité s'interprète comme un déterminant. Il se peut donc qu'il n'y ait aucun point d'intersection, ou des intersections doubles.

Mais es-tu sûr de tes équations d'hyperbole ? Les hyperboles $H_1$ et $H_2$ ont pour axe de symétrie les axes des abscisses et des ordonnées. Est-ce bien le cas ? Je regarde les figures que tu joins à tes messages, j'ai un doute, mais tu es seul juge.


Ok, alors la vraie question serait plutôt, comme écrire l'équation d'une hyperbole tournée d'un angle theta, en une ligne, ... sans passer par les matrice de rotations, f(x,y) = 1 ??


Si votre hyperbole de départ a pour équation $\dfrac{x^2}{a^2}-\dfrac{y^2}{b^2}=1$, alors l'hyperbole obtenue en tournant la première hyperbole d'un angle $\theta$ a pour équation :

$$\dfrac{x^2\cos^2(\theta)+y^2\sin^2(\theta)+2xy\cos(\theta)\sin(\theta)}{a^2}-\dfrac{x^2\sin^2(\theta)+y^2\cos^2(\theta)-2xy\cos(\theta)\sin(\theta)}{b^2}=1$$



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Re: Intersection de deux hyperboles

Messagepar Tonn83 » Jeudi 18 Mars 2010, 00:26

Ta question est donc de déterminer les points d'intersection de deux coniques
$\alpha_ix^2+\beta_iy^2+2\gamma_ixy=1$

(Le fait qu'il s'agisse d'hyperboles simplifie-t-il le problème ?) Souhaites-tu obtenir des expressions explicites des intersections ? Interviendront nécessairement des racines cubiques. L'une ou l'autre des méthodes mentionnées plus haut aboutissent. Résolution d'un système d'équations polynômiales (voir la réponse de FP), utilisation de paramétrage rationnel (voir la réponse de MC), utilisation d'un paramétrage par fonctions trigonométriques (seconde réponse de FP). A chaque fois apparait une équation du quatrième degré à résoudre, d'où l'extraction de racines cubiques. :twisted: Bonne chance.
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Re: Intersection de deux hyperboles

Messagepar patrickVD » Jeudi 18 Mars 2010, 10:06

Très bonne synthèse! Il résume bien mon problème, pour l'instant je suis toujours bloqué qqpart pour chacune de ces méthodes, je comprend très bien pourquoi elles marchent et qu'elles doivent forcément aboutir mais quand je met les mains dans le camboui c'est une autre histoire... (surement à cause du manque d'habitude de traiter ce genre de pb). Bref je crois qu'il faut que je prenne un peu de recul et reprendre tout ça tranquillement et ca va finir par se débloquer! Merci à tous ceux qui sont intervenus en tout cas, je vous fais signe dès que tout s'éclaire!!
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Re: Intersection de deux hyperboles

Messagepar Tonn83 » Jeudi 18 Mars 2010, 20:57

Le paramétrage rationnel me semble être la solution la plus rapide dans le cas général. Tu écris $x$ et $y$ comme des fractions rationnelles en un paramètre $t$ pour traduire l'appartenance à la première hyperbole. Puis, tu remportes dans l'équations $\alpha_2x^2+\beta_2y^2+2\gamma_2xy=1$. Tu devrais normalement obtenir une équation du quatrième degré en $t$. Pour trouver les solutions, tu dois utiliser la méthode de Cardan. Un conseil, utilise un ordinateur pour mener à bien les calculs. :wink:
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Re: Intersection de deux hyperboles

Messagepar Mikelenain » Vendredi 19 Mars 2010, 07:30

patrickVD a écrit:En effet cette solution marche pour le cas d'un point d'intersection unique

euuuh, n'en trouve-t-on pas 0, 1 ou 2 suivant la valeur du discriminant ?
(désolé si c'est faux, je manque de sommeil >.< )
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Re: Intersection de deux hyperboles

Messagepar patrickVD » Mardi 23 Mars 2010, 15:03

Bonjour,

Pour ceux que ça interesse, j'ai posté qq résultats trouvés ce week end chez les copains d'en face. Tout n'est pas encore résolu mais les machines tournent! Merci à tous.
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