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Messagepar Natmar » Jeudi 03 Août 2006, 00:46

Bonjour,
J'ai étudié un peu sur l'intégrale de Riemann et j'ai trouvé dans quelques livres des exemples de fonctions qui ne sont pas intégrables à Riemann. Par contre, je ne trouve pas d'exemple de fonctions qui ne sont pas intégrables à Lebesgue. Est-ce que vous pourriez m'aider?

Excusez-moi pour mon français et merci d'avance.
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Messagepar MB » Jeudi 03 Août 2006, 01:20

On peut prendre par exemple une fonction non mesurable en considérant, encore une fois par exemple, la fonction indicatrice d'un ensemble non mesurable. Ces ensembles sont souvent assez complexes mais il en existe des exemples (il faut admettre l'axiome du choix) . On peut aussi considérer une fonction qui prendrait toutes les valeurs réelles sur n'importe quel intervalle non vide et non réduit à un point et qui ne serait pas non plus mesurable.
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Messagepar François D. » Jeudi 03 Août 2006, 11:14

Il me semble qu'il y a le cas célèbre suivant : $f : x \mapsto f(x)=\dfrac{\sin x}{x}$ ... Elle n'est pas intégrable au sens de Lebesgue sur $[0;+\infty[$, mais, avec les outils de l'intégrale de Riemann, on arrive à trouver la limite $\displaystyle \lim_{t \to +\infty} \int_0^t \dfrac{\sin x}{x}\,dx$ (qui vaut si mes souvenirs sont bons $\frac{\pi}{2}$) ...
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Messagepar Natmar » Jeudi 03 Août 2006, 12:46

Merci pour l'exemple.
Vous connaissez un autre dont l'ensemble de définition a une mesure finie? Dans ce cas la fonction ne serait pas mesurable ni à Riemann ni à Lebesgue.
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Messagepar manut » Jeudi 03 Août 2006, 20:10

1/x sur [0,1] n'est ni integrable Riemann ni integrable Lebesgue !
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Messagepar Natmar » Vendredi 04 Août 2006, 00:16

Vous avez raison. De plus, si f(0)=0 e f(x)=1/x pour x différent de zéro, f(x) n'est même pas mesurable si on considère l'algebra de Borel.
Par contre, la fonction de cet exemple n'est pas bornée.
Connaissez-vous une fonction bornée, définie sur un ensemble de mesure finie, qui ne soit pas integrable ni à Lebesgue ni à Riemann?
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Messagepar Natmar » Vendredi 04 Août 2006, 00:40

:oops: Excusez-moi, je me suis trompée quand j'ai dit que la fonction f(x) n'est pas mesurable!
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Messagepar Natmar » Vendredi 04 Août 2006, 02:50

Merci à tous.
Comme je ne savais pas la traduction de fonction indicatrice je n'avais pas compris l'idée de MB. C'était exactement l'exemple que je cherchais.
Alors, il sufit de considérer un sub-ensemble (subset) de l'intervalle [0,1] qui ne soit pas mesurable et définir la fonction indicatrice de ce sub-ensemble.
[0,1] a une mesure finie;
La fonction indicatrice est bornée;
Cette fonction n'est pas mesurable.
Alors, cette fonction n'est pas intégrable ni à Riemann, ni à Lebesgue.
Par contre, pour trouver un sub-ensemble comme celui-là il faut s'appuyer sur l'axiome du choix. :D
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Messagepar manut » Vendredi 04 Août 2006, 08:14

exactement oui.
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Messagepar Rémi » Vendredi 04 Août 2006, 08:26

Pour subset, en français nous employons "sous-ensemble".

Bonne continuation.
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Messagepar MB » Vendredi 04 Août 2006, 12:10

Natmar a écrit:Comme je ne savais pas la traduction de fonction indicatrice je n'avais pas compris l'idée de MB. C'était exactement l'exemple que je cherchais.
Alors, il sufit de considérer un sub-ensemble (subset) de l'intervalle [0,1] qui ne soit pas mesurable et définir la fonction indicatrice de ce sub-ensemble.
[0,1] a une mesure finie;
La fonction indicatrice est bornée;
Cette fonction n'est pas mesurable.
Alors, cette fonction n'est pas intégrable ni à Riemann, ni à Lebesgue.
Par contre, pour trouver un sub-ensemble comme celui-là il faut s'appuyer sur l'axiome du choix. :D


Oui, il faut l'axiome du choix pour construire de tels ensembles (voir ici par exemple). A la fin de l'article précédent, il y a un exemple d'ensemble non mesurable.
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Messagepar la main gauche » Mercredi 23 Août 2006, 07:33

François D. a écrit:Il me semble qu'il y a le cas célèbre suivant : $f : x \mapsto f(x)=\dfrac{\sin x}{x}$ ... Elle n'est pas intégrable au sens de Lebesgue sur $[0;+\infty[$, mais, avec les outils de l'intégrale de Riemann, on arrive à trouver la limite $\displaystyle \lim_{t \to +\infty} \int_0^t \dfrac{\sin x}{x}\,dx$ (qui vaut si mes souvenirs sont bons $\frac{\pi}{2}$) ...


Cette fonction n'est pas plus intégrable au sens de Riemann qu'au sens de Lebesgue, l'intégrale de Riemann est définie pour certaines fonctions bornées sur un *segment*. L'intégrale généralisée est une limite, comme tu l'écris dans ton message, et la théorie de Lebesgue ne permet pas moins de démontrer que

$$
 \lim_{t \to +\infty} \int_0^t \dfrac{\sin x}{x}\,dx = \pi/2
 $$


Qu'on décide ensuite de noter cette limite $\int_0^{+\infty} \dfrac{\sin x}{x}\,dx$ n'a pas grand chose à voir avec la théorie de l'intégration utilisée pour donner un sens à ce $\int$.

Je me demande par ailleurs quele est le ``problème'' avec l'axiome du choix, qui ne sert pas qu'à démontrer l'existence de parties non mesurables de R, tout de même!
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Messagepar manut » Mercredi 23 Août 2006, 08:48

la main gauche a écrit:
François D. a écrit:Il me semble qu'il y a le cas célèbre suivant : $f : x \mapsto f(x)=\dfrac{\sin x}{x}$ ... Elle n'est pas intégrable au sens de Lebesgue sur $[0;+\infty[$, mais, avec les outils de l'intégrale de Riemann, on arrive à trouver la limite $\displaystyle \lim_{t \to +\infty} \int_0^t \dfrac{\sin x}{x}\,dx$ (qui vaut si mes souvenirs sont bons $\frac{\pi}{2}$) ...


Cette fonction n'est pas plus intégrable au sens de Riemann qu'au sens de Lebesgue, l'intégrale de Riemann est définie pour certaines fonctions bornées sur un *segment*. L'intégrale généralisée est une limite, comme tu l'écris dans ton message, et la théorie de Lebesgue ne permet pas moins de démontrer que

$$ \lim_{t \to +\infty} \int_0^t \dfrac{\sin x}{x}\,dx = \pi/2 $$


Qu'on décide ensuite de noter cette limite $\int_0^{+\infty} \dfrac{\sin x}{x}\,dx$ n'a pas grand chose à voir avec la théorie de l'intégration utilisée pour donner un sens à ce $\int$.

Je me demande par ailleurs quele est le ``problème'' avec l'axiome du choix, qui ne sert pas qu'à démontrer l'existence de parties non mesurables de R, tout de même!



Non je crois que tu te trompes. Il est vrai que dans le cas de Riemann on commence par définir la notion d'intégrale sur un segment, puis on introduit la notion d'intégrale généralisée. Mais ce n'est pas le cas en Lebesgue où on définit directement l'intégrale de f sur un borélien I, I pouvant être égal à R tout entier par exemple. Regarde comment est défini l'espace L^1(I) en Lebesgue : c'est l'enesemble des fonctions f mesurables sur I TELLES QUE |f| SOIT INTEGRABLE SUR I !
Dans ces conditions, tu vois bien que la fonction sin(x)/x n'est pas intégrable au sens de Lebesgue sur R^+ (bien que la limite que tu indiques existe !).
Alors que, au sens d'une intégrale généralisée de Riemann, sin(x)/x) est intégrable sur R^+ !

A ce sujet, voir par exemple le livre de Rudin (que tu dois connaître puisque tu prépares l'agreg ?), où le lien entre intégrale de Riemann et de Lebesgue est bien expliqué. En gros, et sans rentrer dans les détails :
- sur un segment (= intervalle compact) : les deux notions d'intégrale "coïncident" (ce que je dis est approximatif bien sûr, cf la fonction valant 1 sur les rationnels, et 0 ailleurs) ;
- sur un intervalle de longueur infinie, les deux notions diffèrent (ex: sin(x)/x).


Enfin, ta dernière remarque : l'axiome du choix est nécessaire en effet pour pouvoir construire un ensemble non mesurable. Ce n'est pas un problème comme tu le dis, puisque la quasi-totalité des maths actuelles s'appuie sur cet axiome. Il convient cependant selon moi de le dire et d'insister, comme il a été fait dans les messages ci-dessus. En effet ce genre de construction est tout sauf trivial, et on pourrait très bien travailler en niant l'axiome du choix (bien que je n'aie jamais rencontré de matheux le faisant !!!). D'autre part même dans des livres comme le livre d'analyse fonctionnelle de Brezis (!), l'usage de cet axiome est parfois approximatif (cf la démo du théorème d'Hahn-Banach où il est correctement utilisé, et en insistant bien, puis cf la démonstration du théorème de Baire où il est oublié !).


Bonne fin de vacances,
manut
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Messagepar la main gauche » Mercredi 23 Août 2006, 09:13

manut a écrit:
SNIP!

Non je crois que tu te trompes. Il est vrai que dans le cas de Riemann on commence par définir la notion d'intégrale sur un segment, puis on introduit la notion d'intégrale généralisée. Mais ce n'est pas le cas en Lebesgue où on définit directement l'intégrale de f sur un borélien I, I pouvant être égal à R tout entier par exemple. Regarde comment est défini l'espace L^1(I) en Lebesgue : c'est l'enesemble des fonctions f mesurables sur I TELLES QUE |f| SOIT INTEGRABLE SUR I !
Dans ces conditions, tu vois bien que la fonction sin(x)/x n'est pas intégrable au sens de Lebesgue sur R^+ (bien que la limite que tu indiques existe !).


Jusque là il me semble bien avoir écrit ça.

Alors que, au sens d'une intégrale généralisée de Riemann, sin(x)/x) est intégrable sur R^+ !


Oui, mais il s'agit d'intégrale *généralisée*, pas d'intégrale tout court, on peut très bien définir l'intégrale généralisée pour la théorie de Lebesgue de la même façon que pour Riemann, en convenant de notations pour ne pas confondre

$$ \int_{[0,+\infty]}  f(t) dt ,\quad\hbox{et}\qud \lim_{x\to+\infty} \int_0^x  f(t) dt $$


Dans tous les cas la notion ``généralisée'' ne ressemble pas beaucoup à une intégrale, par exemple ce n'est même pas une forme linéaire!

Enfin, ta dernière remarque : l'axiome du choix est nécessaire en effet pour pouvoir construire un ensemble non mesurable. Ce n'est pas un problème comme tu le dis, puisque la quasi-totalité des maths actuelles s'appuie sur cet axiome. Il convient cependant selon moi de le dire et d'insister, comme il a été fait dans les messages ci-dessus. En effet ce genre de construction est tout sauf trivial, et on pourrait très bien travailler en niant l'axiome du choix (bien que je n'aie jamais rencontré de matheux le faisant !!!). D'autre part même dans des livres comme le livre d'analyse fonctionnelle de Brezis (!), l'usage de cet axiome est parfois approximatif (cf la démo du théorème d'Hahn-Banach où il est correctement utilisé, et en insistant bien, puis cf la démonstration du théorème de Baire où il est oublié !).


Si je me souviens bien la preuve de Hahn-Banch proposée par Brezis utilise le lemme de Zorn, d'usage plus délicat que la version "un produit cartésien d'ensembles non vides est non vide", pas spécialement piégeuse, qu'on utilise pour les extractions diagonales.
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Messagepar manut » Mercredi 23 Août 2006, 11:35

A "la main gauche" : tu as raison, sur les deux points. Je suis d'accord avec toi.

Notons que l'axiome du choix (général, non dénombrable) est équivalent au théorème de Zorn.
manut
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